Capesext deuxieme composition de mathematiques 2007 capes maths capes de mathematiques

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À propos d’un théorème de Tchebychevsur la répartition des nombres premiersIntroductionÉtant donné un entier naturel n, on considère (n) le nombre de nombres pre-miers compris entre 0 etn. Ce sujet s’intéresse au comportement de la suite ((n)) .nIl est composé de deux grandes parties A et B.La partie A vise à établir l’encadrement suivant :n n(ln 2) 6(n)6 elnn lnnvalable pour tout n> 3. Elle est composée de deux sous-parties, A.I et A.II, consa-crées respectivement à la minoration et à la majoration annoncées.Ce genre d’encadrement suggère l’existence d’un lien asymptotique fort entre nles suites ((n)) et . La partie B s’intéresse à cette question puisque sonnlnn nobjectif principal est de montrer le résultat suivant :n1 Théorème.— (Tchebychev ) S’il existe un réel c> 0 telle que (n) c alorsn lnnnécessairement c = 1.Elle est composée de quatre sous-parties B.I, B.II, B.III et B.IV. C’est dans la par-tie B.III qu’on établit le théorème annoncé. La preuve qu’on en propose repose sur !X 1l’étude du comportement asymptotique de la suite . Cette étude estpp premier6n nréalisée au début de la partie B.III. Les parties B.I et B.II sont consacrées à l’éta-blissement de formules importantes pour la suite. Dans la partie B.I on établit une2formule due à Legendre qui donne l’expression de la valuationp-adique den!. Dans3la partie B.II on démontre un théorème de Mertens qui précise le comportement !X lnpasymptotique de la suite . La partie B ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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à propos d’un thÉorÈme de Tchebychev sur la rÉpartition des nombres premiers
Introduction Ètant donn un entier natureln, on considreπ(n)le nombre de nombres pre-miers compris entre0etn. Ce sujet s’intresse au comportement de la suite(π(n))n. Il est compos de deux grandes parties A et B. La partie A vise á tablir l’encadrement suivant : n n (ln 2)6π(n)6e lnnlnn valable pour toutn>3. Elle est compose de deux sous-parties, A.I et A.II, consa-cres respectivement á la minoration et á la majoration annonces. Ce genre d’encadrement suggre l’existence d’un lien asymptotique fort entre   n les suites(π(n))nLa partie B s’intresse á cette question puisque sonet . lnnn objectif principal est de montrer le rsultat suivant : n 1 Thorme.—(Tchebychev )S’il existe un rÉelc >0telle queπ(n)calors n lnn nÉcessairementc= 1. Elle est compose de quatre sous-parties B.I, B.II, B.III et B.IV. C’est dans la par-tie B.III qu’on tablit le thorme annonc. La preuve qu’on en propose repose sur  ! X 1 l’tude du comportement asymptotique de la suite . Cette tude est p ppremier6n n ralise au dbut de la partie B.III. Les parties B.I et B.II sont consacres á l’ta-blissement de formules importantes pour la suite. Dans la partie B.I on tablit une 2 formule due á Legendre qui donne l’expression de lavaluationp-adiqueden!. Dans 3 la partie B.II on dmontre un thorme de Mertens qui prcise le comportement  ! X lnp asymptotique de la suite . La partie B.IV est une application de p ppremier6n n la formule asymptotique trouve dans la partie B.III. On y tudie ladensitÉde l’ensemble des entiers possdant degrands facteurs premiers. â la fin du sujet, une note documentaire met en perspective, d’un point de vue historique, le thorme de Tchebychev dmontr ici. Sa lecture n’est pas essentielle au bon traitement du sujet. Les parties de ce problme ne sont pas indpendantes entre elles.
1 Pafnouti Lvovitch Tchebychev, mathÉmaticien russe, Okatovo 1821 – Saint-PÉtersbourg 1894. 2 Adrien-Marie Legendre, mathÉmaticien franÇais, Paris 1752 – Auteuil 1833. 3 Franz Mertens, mathÉmaticien autrichien, 1840 – 1927.
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Notations et rappels On notePl’ensemble des nombres premiers positifs. SiEdsigne un ensemble fini, on note#Elecardinalde cet ensemble, c’est-á-dire le nombre d’lments deE. Si(un)net(vn)ndsignent deux suites numriques, on noteraunvnpour dire n que ces suites sontÉquivalentes. On noteraun=o(vn)pour dire que la suite(un)n estnÉgligeabledevant la suite(vn)net enfin, on noteraun=O(vn)pour dire que la suite(un)nestdominÉepar la suite(vn)n, c’est-á-dire, qu’il existe un relcet un entiern0tels que pour toutn>n0on ait|un|6c|vn|. Sixdsigne un rel, on notera[x]sapartie entiÈre, c’est-á-dire le plus grand entier infrieur ou gal áx; autrement dit,[x]est l’unique lment deZvrifiant :
[x]6x <[x] + 1.
On rappelle que siaetbsont deux entiers tels que06b6a, le coefficient   a a! binomial est gal á . b(ab)!b! Pour tout entiern>0, on noteπ(n)le nombre de nombres premiers compris dans l’intervalle[0, n]; ainsi on aπ(0) =π(1) = 0,π(2) = 1,π(3) = 2,π(4) = 2, etc. Pour tout entiern>1, on noteδ(n) =π(n)π(n1), de sorte que si l’on pose δ(0) = 0, on voit queδest la fonction caractristique dePdansN(c’est-á-dire,δ(n) vaut1sinest premier, et0sinon). Dans tout ce texte la lettrepdsignera toujours et exclusivement un nombre premier, ceci y compris lorsque la lettrepsera utilise comme symbole X 1 d’indice d’une somme ou d’un produit. Par exemple, la notation dsigne la p p6x somme des inverses des nombres premierspinfrieurs ou gaux au relx. Ètant donns un entiern>1et un nombre premierp, on appellevaluationp-adiquedenl’entier notvp(n)et gal á l’exposant depdans la dcomposition en 2 facteurs premiers den. Par exemple, si l’on prendn= 350 = 257on av2(350) = 1, v3(350) = 0,v5(350) = 2,v7(350) = 1etvp(350) = 0pour tout nombre premier p>11. On admet les proprits lmentaires suivantes : k k+1 a)vp(n)est l’entierktel quepdivisenetpne divise pasn. b) Pour toutn>1fix, la suite(vp(n))p∈Pest nulle á partir d’un certain rang, Y vp(n) de sorte que l’on peut criren=p(ce produit pouvant alors tre considr p∈P comme un produit fini). Cette criture n’est alors rien d’autre que la dcompostion en facteurs premiers de l’entiern. c) Pour tousn, mentiers naturels non nuls et toutp∈ P, on a
vp(nm) =vp(n) +vp(m)
Aucune preuve de ces trois rÉsultatsn’est demande aux candidats.
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A. Une estimation À la Tchebychev
I. Une minoration de la fonctionπ
On considre, pour tout entiern>1, l’entierΔn= ppcm(1,2, . . . , n). Dans cette partie nous allons tablir une minoration deΔn. Nous en dduirons ensuite une minoration deπ(n). On considrea, bNvrifiant16b6aet l’on pose : Z 1 b1ab I(b, a) =x(1x) dx. 0
A.I.1. A.I.1.a.ExpliciterI(1, a)en fonction dea. b A.I.1.b.Montrer que sib < aalorsI(b+ 1, a) =I(b, a). ab 1 A.I.1.c.En dduire queI(b, a) = . a b b
A.I.2.On se propose dans cette question de donner une autre mthode pour calculer I(b, a). On considre un rely[0,1[. A.I.2.a.En dveloppant á l’aide de la formule du binÔme de Newton, montrer que : Za  1 X a1 a1k1 (1x+xy) dx=y I(k, a) 0k1 k=1
A.I.2.b.En calculant maintenant directement l’intgrale, montrer que : Za 1 X 1 a1k1 (1x+xy) dx=y 0a k=1
1 1 A.I.2.c.En dduire queI(b, a) = = . a a1 b a b b1
A.I.3. P  ab k ab1 A.I.3.a.Montrer queI(b, a() = 1). k=0k k+b A.I.3.b.En dduire queI(b, aaN.   a A.I.3.c.Prouver que l’entierbdivise l’entierΔa. b
A.I.4.Soitn>1un entier.     2n2n A.I.4.a.Montrer que les entiersnet(2n+ 1)divisent l’entierΔ2n+1. n n (Indication : On remarquera que pour toutk>1,ΔkdiviseΔk+1.)   2n A.I.4.b.En dduire que l’entiern(2n+ 1)diviseΔ2n+1. n (Indication : On remarquera que les entiersnet2n+ 1sont toujours premiers entre eux.)     2n2n A.I.4.c.Montrer que pour toutk∈ {0, . . . ,2n}on a l’ingalit6. k n
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  2n n A.I.4.d.En dduire que(2n+ 1)>4. n n2n (Indication : On dveloppera l’galit4 = (1 + 1).) n A.I.4.e.En dduire queΔ2n+1>n4. n A.I.4.f.Montrer que sin>9alorsΔn>2et vrifier que cette ingalit est encore vraie pourn= 7et8.
A.I.5.Soitn>1un entier. vpn) A.I.5.a.Soitp∈ P, montrer quep6n. (Indication : On commencera par exprimervpn)en fonction des entiers vp(1), . . . , vp(n).) Y vpn) A.I.5.b.Montrer queΔn=p. p6n π(n) A.I.5.c.En dduire queΔn6n.
A.I.6. A.I.6.a.Montrer que pour toutn>7on a n π(n)>(ln 2). lnn A.I.6.b.Pour quels entiersn∈ {2,3,4,5,6}l’ingalit de la question prcdente est-elle encore vraie ?
II. Une majoration de la fonctionπ Y A.II.1.On cherche dans cette question á majorer simplement le produitpen p6n fonction de l’entiern>1. b A.II.1.a.Soientaetbdeux entiers tels que0<6a < b. Montrer que le produit 2 Q  b pdivise l’entier (le produit considr est suppos tre gal á1dans a a<p6b le cas oÙ il n’y aurait pas de nombre premierpdans l’intervalle]a, b]). Q A.II.1.b.En dduire que pour toutm>1, le produitpdivise l’entier m+1<p62m+1   2m+1 . m+1     2m+1 2m+1 A.II.1.c.Comparer, pourm>1, les entiers et . m m+1   2m+1m A.II.1.d.En dduire que pour tout entierm>1on a64. m 2m+1 (Indication : On dveloppera la quantit(1 + 1).) Q m A.II.1.e.Montrer que pour tout entierm>1, on ap64. m+1<p62m+1 A.II.1.f.Prouver finalement que pour tout entiern>1, on a Y n p64. p6n (Indication : On pourra montrer par rcurrence, pourn>1, la propritPn: Y k pour toutk∈ {1, . . . ,2n}on ap64.) p6k
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A.II.2.  m m A.II.2.a.Montrer que pour tout entierm>1on am!>. e (Indication : On pourra penser au dveloppement en srie entire de la fonction exponentielle.) n A.II.2.b.Dduire de ce qui prcde que, pour toutn>2, on aπ(n)!64et que par suite, on a π(n) lnπ(n)π(n)6nln 4
A.II.3.On souhaite montrer, á partir du rsultat prcdent, que pour toutn>3 on a n π(n)6e lnn Pour cela on raisonne par l’absurde, en supposant qu’il existe un entiern0>3 n0 tel queπ(n0)>e. lnn0 A.II.3.a.Montrer que la fonctionx7→xlnxxest strictement croissante sur [1,+[. En dduire que eln 4 ln lnn0 < e lnn0 lnx 1 A.II.3.b.Montrer que la fonctionx7→est majore par e sur[1,+[. x Conclure.
B. Autour d’un thÉorÈme de Mertens
I. Une formule de Legendre sur la valuationp-adique den!
On considre un entiern>2et un nombre premierp. Pour tout entierk>0, on considre les sous-ensembles finisUk,VketΩkdeNdfinis par k Uk={a∈ {1, . . . , n} |pdivisea} k Vk={a∈ {1, . . . , n} |pne divise pasa} Ωk={a∈ {1, . . . , n} |vp(a) =k}
k0 B.I.1.Justifier qu’il existe un plus petit entierk0>0tel quen < p. Montrer que k0>1et expliciterk0en fonction denetp.
B.I.2. B.I.2.a.Montrer que, pour toutk∈ {0, . . . , k01}, l’ensembleUk+1est strictement inclus dansUket que pourk>k0on aUk=. B.I.2.b.Montrer que, pour toutk∈ {0, . . . , k01}, l’ensembleVkest strictement inclus dansVk+1et que pourk>k0on aVk={1, . . . , n}. B.I.2.c.Prouver que la famille de parties{Ω0, . . . ,Ωk01}forme une partition de l’ensemble{1, . . . , n}.
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B.I.3. B.I.3.a.Pour toutk>0, tablir queΩk=UkVk+1. B.I.3.b.Calculer, pour toutk>0,#Uket#Vkpuisken fonction den, p. P B.I.4.Montrer quevp(n!) =kket en dduire que k>0   X n vp(n!) = k p k>1
(formule de Legendre)
II. Un thÉorÈme de Mertens
Dans toute cette partieII, on considre un entiern>2.
B.II.1.Prouver que pour toutp∈ Pon a n n n 1< vp(n!)6+ p p p(p1) (Indication : On pourra utiliser l’encadrementx1<[x]6xvalable pour tout relxet la formule de Legendre.)
B.II.2.En dduire que X X X X lnplnplnp nlnp <lnn!6n+n p p p(p1) p6n p6n p6n p6n Q vp(n!) (Indication : On pourra commencer par montrer quen! =p.) p6n
B.II.3.Dans cette question on tablit plusieurs majorations techniques utiles aux deux questions suivantes. +P P r r B.II.3.a.Montrer la convergence de la srieret prouver quer= 2. 2 2 r=1 Pk x (Indication : On pourra s’intresser á la srie entirekainsi qu’á sa srie 2 k>0 drive.) P 1 B.II.3.b.Calculer pour tout entierr>1la somme finie . En d-m(m1) r1r 2<m62 P lnm r duire que si l’on poseUr=alors on aUr6rln 2. m(m1) 2 r1r 2<m62 +P P B.II.3.c.Montrer que la srieUrconverge. Donner un majorant deUr. r=1 P lnm B.II.3.d.est convergente et que l’on a :En dduire que la srie m(m1)
+X lnm 6ln 4. m(m1) m=2
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    1 1 1 1 B.II.3.e.Montrer que l’ on a :16nln 1 +61etln 1 +>. 2nn n 2n (Indication : On commencera par dterminer pour quels relsuon a les inga-2 litsuu /26ln(1 +u)6u.) B.II.3.f.En dduire, par rcurrence surn, qu’ il existe un relθn[0,1]tel que :
lnn! =nlnnn+ 1 +θnlnn.
B.II.4.Prouver, en utilisant les rsultats des questions B.II.2 et B.II.3, que : X lnp lnn(1 + ln 4)< . p p6n
B.II.5.De mme, en utilisant les questions B.II.2, B.II.3 et A.II.1.f, montrer que : X lnp <lnn+ ln 4. p p6n
En dduire que
(thorme de Mertens).
X lnp = lnn+O(1) p p6n
  P 1 III. Le comportement asymptotique de p p6n n
B.III.1.Dans cette question on tablit des rsultats prliminaires utiles pour la suite. P P 1 1 B.III.1.a.Montrer que la srie2estest convergente, que la srie nlnn nlnn divergente et qu’on a n1 X 1 = ln lnn+O(1) klnk k=2
(Indication : On comparera les sries considres avec les intgrales gnralises R R ++dt dt 2et .) 2tlnt2tlnt n1 P 1 B.III.1.b.On considre la suite(un)n>3dfinie parun=ln lnn. Montrer klnk k=2 que   1 1 un+1un= +o . 2 2 2nlnn nlnn B.III.1.c.En dduire qu’il existe un rel`tel que
n1 X 1 = ln lnn+`+o(1). klnk k=2
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P lnp B.III.2.On note(ψ(n))la suite dfinie parψ(n) =. On considre un n>2p p6n entiern>3. P P 1n1 ln(1+1/k)ψ(n) B.III.2.a.Montrer que=ψ(k) +. p k=2 lnkln(k+1) lnn p6n n P P 1δ(k) lnk1 (Indication : On pourra remarquer que=.δest la fonc-p klnk p6n k=2 tion caractristique deP, puis utiliser la transformation d’Abel sous la forme suivante : si(an)n>1,(bn)n>1sont deux suites numriques et si pourn>1on n P poseAn=ak, alors pour toutN>2, on a k=1 N N1 X X anbn=ANbN+An(bnbn+1) ) n=1n=1 B.III.2.b.Prouver, en utilisant le thorme de Mertens, que :   ln(1 + 1/k1) 1 ψ(k) = +O 2 lnkln(k+ 1)klnk klnk ln(1+1/k) (Indication : On commencera par crire la fraction sous la forme lnkln(k+1) 1t(k) , oÙt(k)est une suite qu’on dterminera. On montrera ensuite que lnk1+t(k)   t(k) 1 1 1 =2+o2.) 1+t(k)klnk2klnk klnk
B.III.3.Dduire de ce qui prcde qu’il existe une constanteλRtelle que X 1 = ln lnn+λ+o(1). p p6n P P n1π(k)π(n) 1 B.III.4.Montrer que pour toutn>2on a= +. En dduire p k=1k(k+1)n p6n n que s’il existe une constante rellectelle queπ(n)calorsc= 1(thorme lnn n de Tchebychev).
IV. Une application À l’Étude des entiers possÉdant de grands facteurs premiers
+ Ètant donn un entiern>2, on noteP(n)le plus grand facteur premier ap-+ paraissant dans la dcomposition en facteurs premiers den. Par exemple,P(50) = + 2 P(25 ) = 5. On s’intresse dans cette question á l’ensembleAconstitu des en-+ tiersn>2vrifiantP(n)> n(c’est ce qu’on entend parentiers possÉdant de grands facteurs premiersdans le titre de cette partie). L’objectif de cette partie est de montrer que l’ensembleApossde unedensitÉvalantln 2. En d’autres termes, si pour un relx>2on poseA(x) =A[0, x]eta(x) = #A(x)le cardinal deA(x),   a(n) nous allons montrer que la suite possde une limite (on dira alors queA n n possde unedensitÉ) et que cette limite vautln 2(qui sera donc appele ladensitÉde A). Ce rsultat signifiera que, « moralement », il y a une proportion deln 20,69 d’entiers dansNqui possdent de grands facteurs premiers.
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