Capesext deuxieme composition de mathematiques 2007 capes maths capes de mathematiques

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´Capes externe de mathematiques : session 2007`deuxieme compositionINTRODUCTIONnDans tout le probl`eme, n d´ esigne un entier naturel non nul. On munit R du produitscalaire usuel :nn n∀x=(x ,...,x )∈ R , ∀y =(y ,...,y )∈ R , x, y = x y1 n 1 n i ii=1net on d´efinit la norme d’un vecteur x=(x ,...,x )∈ R par1 n n2||x|| = xii=1n n nSoit a un vecteur de R non nul, on note s la sym´etrie orthogonale de R dans Rad´ efinie para, xn∀x∈ R,s (x)=x− 2 aaa, an nOn dit qu’une partie R de R est un syst`eme de racines dans R si elle v´erifie lesconditions suivantes :n– la partie R est finie, ne contient pas 0 et engendre le R-espace vectoriel R ;– pour tout α∈ R, s (R)=R (en particulier −α∈ R);αα,β– pour tous α,β ∈ R, n =2 ∈ Zα,βα,α– pour tout α∈ R, les seuls ´el´ements de R proportionnels a` α sont α et −α.Les coefficients n (α,β ∈ R) sont appel´es les coefficients de structure du syst`emeα,βde racines R.On dit que deux syst`emes de racines R et R sont des syst`emes de racines isomorphesn ns’il existe un isomorphisme d’espaces vectoriels ϕ : R → R v´ erifiantϕ(R)=R et ∀α,β ∈ R, n = nϕ(α),ϕ(β) α,βDans la partie I, on ´etudie les syst`emes de racines du plan. Cette partie permet de sefamiliariser avec cette notion et d’avoir des exemples sur lesquels s’appuyer pour la suitedu probl`eme. Puis dans la partie II, on ´etudie des relations d’ordre total compatibles avecnla structure d’espace vectoriel de R . Cette partie est ind´ependante de ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Capesexternedemath´ematiques:session2007 deuxi`emecomposition INTRODUCTION
Danstoutleproble`me,nunneigesnaertiennonlerut´d.lun scalaire usuel :
n x= (x1, . . . , xn)R,
n y= (y1, . . . , yn)R,
n etond´enitlanormedunvecteurx= (x1, . . . , xn)Rpar n 2 ||x||=x i i=1
n On munitRdu produit
n x, y=xiyi i=1
n n n Soitaun vecteur deRnon nul, on notesaalys´mteiroetrlenagohodeRdansR de´niepar a, xn xR, sa(x) =x2a a, an n On dit qu’une partieRdeRest uneredinacyssemt`sedansRisleel´verieles conditions suivantes : n – la partieRengendre le0 et est finie, ne contient pas R-espace vectorielR; – pour toutαR,sα(R) =R(en particulierαR) ; α, β– pour tousα, βR, nα,β= 2Z α, α– pour toutαRle,euss´elseml´stneedR`sannlepoporoitrαsontαetα. Les coefficientsnα,β(α, βRpatnos)sleesl´pecoefficients de structureudsyst`eme de racinesR. Onditquedeuxsyst`emesderacinesRetRsont desedseme`tisenicarrphesomoysss n n s’il existe un isomorphisme d’espaces vectorielsϕ:RRantvire´
ϕ(R) =R
et
α, βR,
n=n ϕ(α)(β)α,β
DanslapartieI,one´tudielessyst`emesderacinesduplan.Cettepartiepermetdese familiariser avec cette notion et d’avoir des exemples sur lesquels s’appuyer pour la suite duprobl`eme.PuisdanslapartieII,one´tudiedesrelationsdordretotalcompatiblesavec n la structure d’espace vectoriel deRC.teetaprtieestind´ependetnaaledtrap.IeisCe relationsdordrepermettront,danslapartieIII,dextrairedunsyste`mederacinesune
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n base deR.triovadtiafelismeˆeMermetdemieuxaborartie´alaptreipIcredelle,ic-leseulr´esultatutileestrappel´eende´butdelapartieIIIetpourraeˆtreadmis.Seulela derni`erequestiond´ependdelapartieI.LapartieIVestconsacre´e`al´etudedungroupe engendre´parlessyme´triesassoci´ees`aunsyste`mederacines.Onmontreraquelessyme´tries associe´esa`unebasesusent`aengendrerlegroupe.Pourcela,onutiliseradesre´sultats e´tablisdanslapartieIII.Ensuite,danslapartieV,one´tudieralesgroupesdie´drauxeton montreraquilssontengendre´spardeuxe´le´mentsdordre2.Cettepartieestinde´pendante decequipr´ec`ede(saufpourtraiterladernie`requestion).DanslapartieVI,onassocie`aun n syste`mederacinesunensembledepartiesconnexesdeRursi´enupedorgeltigaleuqsel danslapartieIV.Onmontreensuite,pardesargumentsdedualite´etdetopologie,que touteslesbasesextraitesdusyst`emederacinessontenbijectionaveccesconnexes.Cette partie se finit en montrant que le groupe agit simplement transitivement sur l’ensemble de cesconnexesetsurlensembledesbasesdusyst`emederacines.
2 ` Partie I. SYSTEMES DE RACINES DANSR 2 Dans cette partie, on supposeran= 2.SoitRsyst`emeundseedaricenR.Pour α, βR, on noteθα,βtreueentriqe´gee´mollgnaαetβe,trenispromlc´reebmerelon.i.e 0 etπrapine´d α, βcos(θα,β) = ||α|| ||β||
1.Soitα, βR. 2 a)Montrer quenα,βnβ,α= 4 cos (θα,β) . b)eporseualsdleibssde´dnEvseleriuθα,β. c)(Montrer que le couple nα,β, nβ,α(1) ne peut pas prendre les valeurs ,4) , (4,1) , (1,4) et (4,1) . 2 π||α||nβ,α d)Pourθα,βeslrdospslsabuieelvsiuuerd´edet=euqretron,m= 2 2||β||nα,β ||α|| rapport ||β|| e)En supposant||α|| ≤ ||β||fsroemdnuatlbaeu,lesdi´erenteselavsruesr´,poursteen ||β|| denα,β,nβ,α,θα,βet . ||α|| 2 2.erlessinnsDepsnoroerercssugstsyreatqu`antdaadsenicaredseme`Rnon deux `adeuxisomorphes(danschacundescas,lunedesracinesdevraeˆtre(1,0) ). On les ordonnera dans l’ordre croissant du nombre de racines et on les appelleraA1×A1, A2,B2etG24 , (ayant respectivement 8 et 12 racines).6 ,
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3.Soitαune racine deRde norme minimale. Supposons qu’il existe une racineβdeR nonproportionnelleetnonorthogonalea`α.uQtieta`rtnaorsfrmeRpar une rotation, unehomoth´etieouunesym´etrieorthogonaledaxeR× {0}(qui laissent invariants les coecientsdestructuredusyst`emederacines),onpeutsupposerα= (1,0) etβde deuxie`mecoordonn´eestrictementpositive.
a)Montrer quenα,β= 0 . En posantγ=sα(β),montrer quenα,γ=nα,β.
Quitte`aremplacerβparsα(βon supposera) , nα,β<udesbleaursvalepadte0atelse`r deθα,βr.n,eertt´rsessateppeivuocnse 3π b) cas 1 :Supposons que||β||= 2||α||etθα,β= . Calculersα(β) etsβ(α) et 4 repre´sentergraphiquementlesquatreracinesα,β,sα(β) etsβ(αriqee´ud.Endeu) B2R. En supposant qu’il existeγR\B2, montrer qu’alors l’angle entreγet π une racine deB2euqerurueia`cnE.lcnoeinsterf´R=B2. 8 5π c) cas 2 :Supposons que||β||= 3||α||etθα,β= . Calculer 6 sα(β), sβ(α), sβsα(β) etsαsβ(α)
etlesrepr´esentergraphiquementainsiqueαetβ.Eeuqeirdu´endG2R. En raisonnant par l’absurde, montrer queR=G2. 2π d) cas 3 :Supposons que||β||=||α||etθα,β= . Calculersα(βeire)etdne´ud 3 queA2R. Supposons queR=A2, soitγR\A2. Montrer que l’angle entreγet π deux vecteurs adjacents deA2nemeedstge´tse.Qal`ae`aruittedexe´nie´´llrseA2, 6 5π montrer qu’on peut supposerθα,γ.nE´d=eeduirequR=G2. 6 2 4.ia`uqerulcnocnEesr`epsmhirpmosotaereuuqyqai,nlacinsder`emesystesdansR.
Partie II.
n RELATIONS D’ORDRE DANSR
n Une relation d’ordresurRest dite compatible avec la structure d’espace vectoriel de n Rntes:onssuivacxnoiditeeldsueeisire´vell n x, y, zR, xy=x+zy+z; n+ x, yR,λR, xy=λxλy. Larelationdordrestrictassocie´eestnote´e.
n 1.Soitune relation d’ordre total surRcompatible avec la structure d’espace vec-toriel.
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