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SESSION DE 2002 concours externe de recrutement de professeurs certifiés et concours d’accès à des listes d’aptitude (CAFEP) sections : mathématiques breton première composition de mathématiques Durée : 5 heures Calculatrice électronique de poche – y compris programmable, alphanumérique ou à écran graphique, à fonctionnement autonome, non imprimante, autorisée conformément à la circulaire n° 99-186 du 16 novembre 1999. Tout document et tout autre matériel électronique sont interdits. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Les résultats indiqués dans l’énoncé peuvent être utilisés par les candidats pour la suite du problème. Les candidats doivent reporter sur leur copie, devant leurs réponses, la numérotation complète des questions de l’énoncé. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale dans sa copie et poursuit sa composition en indiquant les initiatives qu’il est amené à prendre de ce fait. Notations et objectifOn note :∗N l’ensemble des nombres entiers naturels et N l’ensemble des nombres entiers naturels non nuls,Zble des nombres entiers relatifs,πZ l’ensemble des multiples entiers du nombre π,∗Rble des nombres r´eels et R l’ensemble des nombres r´eels non nuls,C l’ensemble des nombres complexes.D’autre part, si A et B ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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S E S S I O N D E 2 0 0 2
concours externe de recrutement de professeurs certifiés et concours d’accès à des listes d’aptitude (CAFEP) sections : mathématiques  breton
première composition de mathématiques Durée : 5 heures
Calculatrice électronique de poche – y compris programmable, alphanumérique ou à écran graphique, à fonctionnement autonome, non imprimante, autorisée conformément à la circulaire n° 99-186 du 16 novembre 1999.
Tout document et tout autre matériel électronique sont interdits.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Les résultats indiqués dans l’énoncé peuvent être utilisés par les candidats pour la suite du problème.
Les candidats doivent reporter sur leur copie, devant leurs réponses, la numérotation complète des questions de l’énoncé.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale dans sa copie et poursuit sa composition en indiquant les initiatives qu’il est amené à prendre de ce fait.
Notations et objectif
On note : Nl’ensemble des nombres entiers naturels etNl’ensemble des nombres entiers naturels non nuls, Zl’ensemble des nombres entiers relatifs, πZl’ensemble des multiples entiers du nombreπ, Rltesmelbesnnombedes´eelresrReldelbmesnrembnoessnel´esrnounsl, Cl’ensemble des nombres complexes. D’autre part, siAetBsont des parties quelconques deR, on note : A\B`tanenaaptrslpar´eeedesemblenslAsapta`rtpaanenismaapnB, autrement ditAB. CR Touteslesfonctionsconside´re´esdansceprobl`emesont`avaleursdansCou dansR. On notela composition des applications. On note respectivementetsraapiptliiecaamtiigoannsripeartier´eelleetelpdeCversR. On notecotla fonction cotangente.
L’entier natureln, l’intervalleJdeRitnoappilacnonrueirlte,ediv´enti,dfdeJversC(ou versR) (n(0)) e nfe,oesotnntdann´onlbavte´edsioire´f´veee´irldandefsurJ. (En particulier,f=f.) (1) On utilisera la notation usuellefdruoise´rengpf. L’entier naturelnet l’intervalleJdeRind,urieert´,edivnonodtnate´s,onnn´e:note n D(J) l’ensemble des applications deJversCau moinsnseusre´iravlbfsdoiJ. n D(J,R) l’ensemble des applications deJversRau moinsnseusavlbe´iriodsfrJ. n n C(J) l’ensemble des applications deJversCde classeCsurJ. n n C(J,R) l’ensemble des applications deJversRde classeCsurJ. ∞ ∞ C(J) l’ensemble des applications deJversCde classeCsurJ. ∞ ∞ C(J,R) l’ensemble des applications deJversRde classeCsurJ. On´etendcesnotationsaucasou`Jdes.joissdledettsineire´tniivnonsruteinalrvdeonuxdeltseinuSiJcentlontireavitndnill(eert´urienvnoe)idK, sifest une application deJversC(respectivement   n n versR), et si la restriction def`aKarppa`taitneC(Ka`) respectivement C(K,R) , on pourra   n n consid´ererquefapparaitne`tC(K`a) respectivement C(K,R) .
z zlnx Soitzlpxee´xmorbcemounnnoitppaacilleelelquOne.pprax→x= e , de ]0,+[ versC, est z1 de´rivablesur]0,+taoincilppalee´vire´ed,d[x→zxde ]0,+[ versC.
Onconsid`eredansceprobl`emeunintervallexe´IdeReurn´erideetonviitnd,onticaapelbatsilppalr x x→deRversRueiqrspa,nsaieuqoe´rarpicx→2x. 2 L’intervalleIe0u]:oe´uqneectsneocsn,+ou [0[ , ,+[ , ou ]−∞,ou ]0[ , −∞,0] , ouRmˆemlui-.e Ceprobl`emeviseessentiellementlobtentionder´esultatssimplesrelatifs`al´equation   x E(I) :f(x) =xf 2 1 d’inconnuefetanppralnetna`lesembaD(I) .   x 1Une solution deE(Inet´lmenue´odcn)estfdeD(Ilee´rtuotruop,ntari´e)vxdeI,f(x) =xf2 On noteS(Ioitanleduqe´utolnsiolembssde)lneesE(I) .
Danscertainesparties,onsint´eresseplusspe´cialementauxsolutionsdele´quationE(I)appartenant`a 1 l’ensembleD(I,R) . On note alorsER(Ireeeml`obprce)tetniertsSR(I) l’ensemble de ses solutions.
LapartieI,tr`escourte,concerneessentiellementlinterpr´etationgraphiquedele´quationER(I) . LapartieII,dunelongueurmoyenne,traitedesg´ene´ralite´srelatives`al´equationE(I) et en recherche dessolutionsposse´dantcertainespropri´et´esparticulie`res.   Dans la partie III, plus longue, une interrogation sur la dimension de l’espaceS]0,+co[aalt`uind d´ecouvertedesolutionsinattendues. LapartieIV,assezcourte,demandederep´ereretdetraiterdeserreursdansuntextemath´ematique.   LapartieV,longue,proposed´etablirunthe´or`emedeBoreletdonneuneid´eedelespaceS]0,+[ . Cescinqpartiessontlargementinde´pendantes.Onutilise(II.B.1)dans(III.A.1),(II.C.1)dans(III.B).
1
Partie I I.1.anslecaso`uDIne contient pas 0 , proposer, en l’accompagnant d’une illustration graphique, une interpre´tationge´ome´triquesimpleduprobl`emeER(I) . 3 I.2.Soit (a, b, c´lmenedte)nue´Cet soitp:ICateln:iopaiearrldnoine´lppatacil2 p(x) =ax+bx+c ` Aquelleconditionne´cessaireetsufsantesurletriplet(a, b, c) l’applicationpappraitne-tleel`aS(I) ?
I.3.Dans cette question, sauf mention contraire,I= ]0,+[ . Parmilesapplicationsdontlescourbessontdessin´eesci-dessous,quellessontcellesquinetv´erienpas l´equationER(I) ?seuntsdealilssrer´essreposdem´ersnOreedaderntteonectaenontirasgiqphdseue ces applications etonnejustirepasaelrse´opsn´enndoes.es
y
O
y
x
Fig. 1 : demi-droite “horizontale”.
O
x
Fig. 5 : arc de parabole d’axe “vertical”.
y
2
O
y
1
x
Fig. 2 : demi-droite.
O
x
Fig. 6 : demi-parabole d’axe(Ox).
y
1
O
y
2
x
Fig. 3 : demi-droite.
O
1x
Fig.7:courbecoı¨ncidantsur ]0,1]avec un arc de cercle.
y
O
x
Fig. 4 : demi-parabole d’axe(Oy).
–1
y
O
1
2x
Fig.8:unesinusoı¨de (I=R).
Partie II — A — II.A.1.Montrer que, pour les lois usuelles,S(I) est un espace vectoriel surConrn,it`a´edu{0}. Demanie`reanalogue,dequellestructurealg´ebriquepeut-onmunirSR(I) ? II.A.2.Soit une applicationf:ICsstet´onuieqlevasetn:tnoM.uelererqisprstrotioiposovinasnus (i)f∈ S(I) ; (ii) ◦f∈ SR(I) et ◦f∈ SR(I) ; (iii) l’applicationx→f(x) , deIversCtient`aa,rappS(I) .
— B — II.B.1.Soitfdentme´eu´nleS(Ion.M)rraprertnerruce´e,pocequutenurtoanutitreerln,fest (n´dsivire+of)1leabrsuI\ {0}tue´´lme,eopruotquetentxdeI\ {0},     x x n x (n) (n+1) (n) f(x) =f+f n n1 2 2 2 2 II.B.2.On suppose que l’intervalleI.contient 0 1 Montrerquetout´ele´mentfdeS(I)vri´eef0=)0patetraptnei`a(C(I) .
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