Capesext premiere composition de mathematiques 2003 capes maths capes de mathematiques

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Capes externe 2003, premi`ere ´epreuve page 1Notations et objets du probl`eme+On d´esigne parN l’ensemble des entiers naturels, parR le corps des nombres r´eels et parR l’ensembledes r´eels positifs ou nuls.kPour tout entier naturel n et tout entier k compris entre 0 et n, on note C le coefficient binomial d´efininpar :n!kC =n k!(n¡k)!avec la convention 0!=1.Si A, B sont deux ensembles, avec B inclus dans A, on note AnB l’ensemble :AnB =fx2Ajx2= Bg:On rappelle que si E est un espace vectoriel r´eel, une famille B =(e ) de vecteurs non nuls de E esti i2Kune base si pour tout vecteur x dans E il existe une unique famille de scalaires (x ) , ou` L est unej j2LPpartie finie de K, telle que x= x e .j jj2LSauf indication contraire, on d´esigne par a et b des r´eels tels que a < b et par I l’intervalle ferm´e born´e[a;b].On note C(I) l’espace vectoriel r´eel des fonctions d´efinies sur I `a valeurs r´eelles et continues.On note F l’espace vectoriel r´eel des d´efinies surR `a valeurs r´eelles p´eriodiques de p´eriode 2…et continues.Pour ´eviter les r´ep´etitions dans les d´efinitions qui suivent on d´esigne par H l’espace vectoriel C(I) ou Fet par J l’intervalle I dans le cas ou` H est l’espace C(I) ou l’intervalleR dans le cas ou` H est l’espaceF.Pour toute fonction f appartenant `a H on d´esigne par jfj la fonction d´efinie par :jfj: J !Rx7!jf(x)jL’espace H est muni de la norme de la convergence uniforme d´efinie par :8f 2H;kfk =supjf(x)j:1x2JOn munit ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Notationsetobjetsduprobleme
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+ OndesigneparNl’ensemble des entiers naturels, parRslteaprrbsereerocelmonsedspRl’ensemble desreelspositifsounuls. k Pour tout entier naturelnet tout entierkcompris entre0etn, on noteCldianeiomintbenciecole n par : n! k C= n k!(nk)! avec la convention0! = 1. SiA,Bsont deux ensembles, avecBinclus dansA, on noteA\Bl’ensemble : A\B={xA|x/ B}. On rappelle que siEorctlriepaesveceenutsafimlleeleu,enB= (ei)iKde vecteurs non nuls deEest une base si pour tout vecteurxdansEil existe une unique famille de scalaires(xj)jL,ouLest une P partie nie deK, telle quex=xjej. jL Saufindicationcontraire,ondesigneparaetbleeletseuqssrdea < bet parIavlltnrelieornmebefer [a, b]. On noteC(I)elrelritoecevacspcnitnodseedlseofureniessIselloctesrueeeravalinnts.ue On noteFniesdlessursedleernoitcnofevacspeelritoecRsrrlauesepeellavedoiioerqudideeserp2π et continues. PoureviterlesrepetitionsdanslesdenitionsquisuiventondesigneparHl’espace vectorielC(I)ouF et parJl’intervalleIsocaudalensHest l’espaceC(I)ou l’intervalleRudanslecasoHest l’espace F. Pour toute fonctionfppateartnanaHednngiseopar|f|ctioafonlap:rneidne|f|:JR x7→ |f(x)| L’espaceHonmrdelecanoevgrenceuniformedepein:raaledinumtse f∈ H,kfk= sup|f(x)|. xJ On munit l’espaceHedlatilareordrondleitrapeeetonienetder:pa (f, g)∈ H × H,(fg)(xJ, f(x)g(x)). On dit qu’une fonctionfnenatapaaptrHest positive et on note0f, si0f(t)pour touttdansJ. OndesigneparL(H)l’espace vectoriel des endomorphismes deHdeU.nleeemtnL(H)eleepstaussiap unoperateurlineairesurH. OnditquunoperateurlineaireusurHapvetisipoontincatnanetrapilttifsposiestetofteuoofmrarsn Hen une fonction positive. On noteR[x]l’espace vectoriel surRsleerstteC.noitlopssedcnofaielnymoenavdsuleariabciencoeespace est muni de la base{ek|kN}par:denei k kN,xR, ek(x) =x . On notePle sous-espace vectoriel deFt-es,sceletnrsceiacoeuestriqomenogirtsemoˆnylopesedmorf a-diredesfonctionsdeRdansRde la forme : n X x7→a0+ (akcos (kx) +bksin (kx)), k=1 ounest un entier naturel, le coecienta0et les coecientsak,bkpour tout entierkcompris entre1et nsnortele.s
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Cet espace est muni de la base{ck|kN} ∪ {sk|kN\ {0}}:eniepadr½ kN, ck(x) = cos(kx), xR, kN\ {0}, sk(x) = sin(kx). On remarquera quec0=e0. Pour toute fonctionfapaapenrttanF,oendngisrape(ak(f))k0et(bk(f))k0les coecients de Fourier defdr:apsineZ π 1 kN, ak(f) =f(t) cos (kt)dt, π π Z π 1 kN\ {0}, bk(f) =f(t) sin (kt)dt. π π On note : a0(f) S0(f) =c0(1) 2 et pour tout entierntif,posimenticterenapseginodrtsSn(f)nipar:omnˆrietlelypouqiredeonogtem n X a0(f) Sn(f) =c0+ (ak(f)ck+bk(f)sk).(2) 2 k=1 La partieIlrseaptreisitisC.sfettetrapesietituslipaeeeeuacarretaoxplineursespoeairnscosteIIet III. La partieIIpalxorptamiunoifoniedrmfoestiensctocsncareeuahteoremesuivantsurnoitnocsusrunse unintervallefermeborneetavaleursreelles: Theoreme1(Korovkin)Si(un)nNest une suite d’endomorphismes positifs deC(I)u,oIest un intervallefermebornedeR, telle que pour toute fonctionfappanetrtnaa{e0, e1, e2}la suite(un(f))nN convergeuniformementversfsurI, alors pour toute fonctionfnenaaptraptaC(I)la suite de fonctions (un(f))nNemrtnemuegrofincveonversfsurI. La partieIIIeepdnnaidniertpaladeteIIroemnufiitnoixampporlrantsuuivaemeseorhtuaeercasnoctes desfonctionsperiodiques,continuessurR:steurlevaaleelesr Theoreme2(Korovkin)Si(un)nNest une suite d’endomorphismes positifs deFtelle que pour toute fonctionfappartenanta{c0, s1, s1}, la suite(un(f))nNconvergrseemtnevueinofmrfsurR, alors pour toute fonctionfanetraappatnF, la suite(un(f))nNversmentcgruenoevmreinoffsurR. IOperateurslineairespositifs.Proprietesetexemples
I.1SoiturusfitisopreaieinrleuaterunopH. Montrer que : f∈ H,|u(f)| ≤u(|f|). I.2SoitutisousfiaenperiteraliuruneoprH. Montrer queuest l’endomorphisme=e question on se place dansH=C(I) avecI= [0,1] et on se donne un entiernstrictement positif. 2 On noteϕnruseinednctioafonlRpar : ³ ´n y 2 n (x, y)R, ϕn(x, y) =xe+ 1x . Pour tout entierkcompris entre0etnednngisrape,oBn,knctilafolynoonpodeeimlanei par : k knk (x) =C x(1x) (3) xI, Bn,k n etBn:rdeinaposepifitnliireaareruettsepol nµ ¶ X k f∈ C(I), Bn(f) =f Bn,k(4) n k=0
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I.2.1rtuotruoPleeypaneigesdonrfyneiusrlafonctiondeRpar : xy xR, fy(x) =e . Montrer que : xI, Bn(fy)(x) =ϕn(x, y). I.2.2Montrer que pour tout entier naturelj=e question on se place dansH=C(I) avecI= [0,1] et on se donne un entiernstrictement positif. 2 On noteϕntcnofalrsuienendioRpar : ³ y´n 2 n (x, y)R, ϕn(x, y) =xe+ 1x . Pour tout entierkcompris entre0etn,ondesigneparBn,kla fonction polynomiale deniepar: k knk xI, Bn,k(x) =C x(1x) (5) n etBnpar:eniifdstostilripeearneateproueil nµ ¶ X k f∈ C(I), Bn(f) =f Bn,k(6) n k=0 A.PourtoutreelyodnesigneparfylafoncseinrunoitedRpar : xy xR, fy(x) =e . Montrer que : xI, Bn(fy)(x) =ϕn(x, y). B. Montrerque pour tout entier natureljon a : j ∂ ϕn Bn(ej)(x() =x,0). j ∂y C. ExprimerBn(ej) dans la base{ek|kN}pourj= 0,1,2. I.2.3Pour cette question on se place dansH=FrapesignndeetoKnyloemoˆpnuigtro-nometrique.OnassocieacepolynˆomeloperateurlineaireurusinedFpar : Z π f∈ F,xR, u(f)(x) =f(xt)K(t)dt. π A. Montrerque pour toute fonctionfartenantappaFon a : Z π xR, u(f)(x) =f(t)K(xt)dt. π B. Montrer que pour toute fonctionfetantnaapparF,u(fynolnptuigtrmeˆo-o)se nometrique. C.Montrerqueloperateurlineaireuest positif si et seulement si la fonctionKaset valeurs positives ou nulles. I.2.4Pour cette question on se place dansH=F, on se donne un entier naturelnstrictement positifetonconsidereloperateurlineaireTnuredsinFpar : n1 X 1 f∈ F, Tn(f) =Sk(f),(7) n k=0 ouS0einusreiaerdrepolenilruetagnsiedFpar (1) et pour tout entier naturelknon nul,SkrnisudeairenieuelrretaopsieelgndFpar (2).
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