Capesext premiere composition de mathematiques 2005 capes maths capes de mathematiques

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Notations et objet du problµemeOn d¶esigne par :N l’ensemble des entiers naturels;Z l’anneau des entiers relatifs;Q le corps des nombres rationnels;⁄Q l’ensemble des nombres rationnels non nuls;R le corps des nombres r¶eels;⁄ ⁄R [resp.R ] l’ensemble des r¶eels non nuls [resp. strictement positifs];+C le corps des nombres complexes;⁄C l’ensemble des nombres complexes non nuls;Z[x] l’anneau des fonctions polynomiales µa coe–cients entiers relatifs.Pour tout entier naturel n; on note n! la factorielle de n avec la convention 0!=1:Si f est une fonction ind¶eflniment d¶erivable d¶eflnie sur R µa valeurs r¶eelles et k est un entier(k)naturel non nul, on note f la fonction d¶eriv¶ee d’ordre k de f: On utilise la convention habituelle,(0)f =f:⁄Si I est un intervalle r¶eel non r¶eduit µa un point et f une fonction d¶erivable de I dans C ; on0frappelle que la d¶eriv¶ee logarithmique de f est la fonction :fLa premiµere partie de ce problµeme est consacr¶ee µa la d¶emonstration de quelques r¶esultats utilespour la suite.Dans la deuxiµeme partie, µa partir d’une caract¶erisation des sous groupes additifs de R (ils sontdenses ou discrets), on d¶eduit un critµere d’irrationalit¶e et on d¶ecrit une m¶ethode permettant deprouver qu’un r¶eel est irrationnel.rCette m¶ethode est utilis¶ee dans la troisiµeme partie pour montrer l’irrationalit¶e de e pour toutnombre rationnel non nul r: Ce proc¶ed¶e permet ¶egalement d’obtenir des approximations rationnellesde la ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Notationsetobjetduproble`me
Onde´signepar: Nl’ensemble des entiers naturels; Z;l’anneau des entiers relatifs Qle corps des nombres rationnels; Ql’ensemble des nombres rationnels non nuls; Relproc;ssrreel´eessdmbno ∗ ∗ R[resp.R];s]l´eeldesrmbleensets.pser[slunnonsifitostpenemctri + Cle corps des nombres complexes; C;l’ensemble des nombres complexes non nuls Z[x]fita.snofseduaopsnoitcneanlstneicnersleitremiallynocoees`a Pour tout entier natureln,on noten!la factorielle denavec la convention0! = 1. Sif´endniioctonefuntsesurnieed´eavlbe´irnedtnmiRs`ra´vealeursetellekest un entier (k) naturel non nul, on notefriv´eedordrenofale´dnoitckdef.On utilise la convention habituelle, (0) f=f. SiItetniutsee´lellrereavintnunpoit`a´edunonrfoitcnofenueedblvari´endIdansC,on 0 f rappellequelad´eriv´eelogarithmiquedefest la fonction. f Lapremie`repartiedeceproble`meestconsacr´ee`alad´emonstrationdequelquesr´esultatsutiles pour la suite. Dansladeuxi`emepartie,`apartirdunecaracte´risationdessousgroupesadditifsdeR(ils sont densesoudiscrets),onde´duituncrit`eredirrationalite´etonde´critunem´ethodepermettantde prouverquunr´eelestirrationnel. r Cetteme´thodeestutilis´eedanslatroisi`emepartiepourmontrerlirrationalite´deepour tout nombre rationnel non nulr.xomiparpsnartaoinelltionesCeproc´e´demrepe´teelagntmeobdniteesrd de la fonction exponentielle. Danslaquatri`emepartieonsinte´resseauxracinesr´eellesdessolutionsdune´equationdie´rentielle line´airedordre2etpntnessnatnoocntsncieacoe`neci´esrleelessditrailucasrearxuofcnitnodse Bessel d’indice entier. Enndanslacinqui`emepartie,onmontrequelesracinesr´eellesnonnullesdesfonctionsde Besseldindiceentiersontirrationnellesenutilisantunem´ethodevoisinedecellede´critedansla deuxi`emepartie.
Onrappellelaformuledint´egrationparpartiesite´r´ee:sia, bqseusrdentsoelstel´ea < b, nun entier naturel non nul etf, gdofseitcndsnon´essielurteinlealrv[a, b]datesellee´rsruealav`antmett desde´rive´escontinuesjusqu`alordren,alors : " # b ZnZ b b X (n)k+1 (nk) (k1)n(n) f(t)g(t)dt= (1)f g+ (1)f(t)g(t)dt. a a k=1 a
IR´esultatspr´eliminaires
Pourcettepartie,onde´signeparpun entier naturel, parPune fonction polynomiale dansZ[x] nonidentiquementnulle,dedegr´ep,et parnun entier naturel. 1. SoitQdee´imlaap:rneinctilafolynoonpo n x xR, Q(x) =P(x). n! 1
(k) (a) Montrerque pour tout entier naturelk, Q(0) est un entier relatif. (n+k) Q(0) (b) Montrer que pour tout entier naturelkcompris entre 0 etp,est un entier k! relatif. 2. SoitRpnlotcoifanol:raepnied´leiaomyn 1 n xR, R(x() =x(1x)P(x)). n! (k) (k) (a) Montrerque pour tout entier naturelkeslanqut´tiesR(0) etR(1) sont des entiers relatifs. (n) (b) Montrerque la fonction polynomialeUed´epniraU=Rappaeitrnt`aZ[x]. 3. Enreprenant les notations deI.2uo`,PdansZ[x]\ {0}gededtser´ep,montrer que pour toute fonctionfdnine´nemie´dtvariedbleRdansRon a : Z Z 1 1 (n)n(n) f(t)R(t)dt= (1)f(t)R(t)dt. 0 0
– II – Sous-groupes additifs deRectreseir`tratidirit´eonal
On dit qu’un sous-groupe additifHde(R,+)est discret si pour tout compactKdeR,l’inter-sectionHKest vide ou finie. Pourtoutre´elθ,on noteHθ=Z+θZle sous-groupe additif deRerapdr´engen1etθ.Il est de´nipar: © ª 2 Hθ=p+|(p, q)Z. 1. Montrerque les sous-groupes additifs deRdiscrets sont de la forme :
αZ={|pZ},
ou`αlee´rnutse. 2. SoientHun sous-groupe additif deRt`uiaonnedr´{0}etK=HR. + (a) MontrerqueKadmetunee´irueerobnriefnαdansR+. (b) Montrerque siαest strictement positif, alorsαest dansK. (c) Montrerque siαest strictement positif, alorsHest discret. (d) Montrerque siαest nul, alorsHest dense dansR. 3.Montrerquunre´elθest irrationnel si et seulement si le sous-groupe additif deR, Hθ=θZ+Z est dense dansR. 4.Montrerquunr´eelθest irrationnel si et seulement si il existe deux suites (pn() etqn) nNnN d’entiers relatifs telles que : nN, qnθpn6= 0,(1) lim (qnθpn) = 0.(2) n++P1 5.Montrerlirrationalit´edunombree=enladeatltontiesqunasilituuse´reltII.4. k! k=0
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6. Pourcette question, on se donne un entier naturelp,une fonction polynomialePdansZ[x] de degr´epne s’annulant pas sur ]0,1[ et on lui associe les suites de fonctions polynomiales (Un) nN et (Ln):rapesnied´ nN 1 n Un(x) =(x(1x)P(x)), n! nN,xR, (n) Ln(x) =Un(x). Onsedonnee´galementunefonctionftn´drevibaeledind´enimeRdansRet on lui associe la suiteder´eels(Rn:ar)e´dpein nN Z 1 nN, Rn=f(t)Ln(t)dt. 0 (a) Onsuppose que la fonctionfesesh`ote:ntvauire´vpyhlei (n) nN,t]0,1[, f(t)6= 0.(H1) Montrer alors queRnest non nul pour tout entier natureln. (b) Onsuppose que la fonctionfaviusese`htopyhelierv´:etn  Z1(n) ¯ ¯ f(t)dt 0   ilexisteunr´eelρ >ntriobetios)2H(.ee´te0uelqsula nρ nN n Montrerquepourtoutre´elµla suite (µ Rnconvergente vers 0) est. nN (c) Onsuppose que la fonctionferielesv´es(syhophte`H1),(H`ethpohylet2):etnaviuses qnθpn nN, Rn= (H3) n αλ o`uα, λ, θnesdnrosoes´tlnete(unslpn),(qn) deuxsuites d’entiers relatifs. nNnN Montreralorsqueler´eelθest irrationnel.
rIIIIrrationalit´edeepourrQ
Pourcettepartie,ond´esignepar(Un)et(Ln)ar:´eniespdsnoitcnofedsetisuesl nNnN n n x(1x) Un(x) =, nN,xR, n! (n) Ln(x) =Un(x)
et par(Rn)sal:rofedetiusdontincpaien´e nN Z 1 xt nN,xR, Rn(x) =e Ln(t)dt. 0 1. (a) Montrerque pour tout entier naturelnettuorte´lexnon nul,Rn(x) est non nul.
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