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Fonctions à variations bornéesIntroductionDans ce problème, on s’intéresse aux fonctions à variations bornées. Cette notion1 2a été introduite en 1881 par Jordan pour étendre un théorème de Dirichlet sur3la convergence des séries de Fourier . Il est composé de sept parties A, B, C, D, E,F et G.Dans la partie A on établit quelques propriétés élémentaires relatives aux fonc-tions à variations bornées. En introduction de la partie B, on définit une notion delongueur bornée et de longueur pour les fonctions à valeurs dansR. Son objectif estd’établir des propriétés générales sur cette notion : une inégalité triangulaire, unerelationde Chasles... Dansla partieCon établitl’équivalenceentre“êtrede longueurbornée sur tout segment” et “être à variations bornées”. La partie D se consacre au1cas des fonctions de classe C . On y démontre qu’elles sont toujours de longueurbornée et on donne une formule pour calculer leur longueur. La partie E s’intéresseau cas des fonctions périodiques. La partie F est consacrée à l’étude d’un exemple.Dans la partie G, on étend les définitions et les propriétés présentées précédemmentnaux cas des fonctions à valeurs dans R . Sauf mentions contraires explicitées dansle texte, les parties de ce sujet ne sont pas a priori indépendantes.Notations et définition n n Pour n2N et AR,F(A;R ) désigne l’ensemble des fonctions de A versR .nPour tout f2F(A;R ) et BA, fj désigne la restriction de f à B.B Dans tout le problème,I désignera un ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Fonctions À variations bornÉes
Introduction
Dans ce problme, on s’intresse auxfonctions À variations bornÉes. Cette notion 1 2 a t introduite en 1881 par Jordan pour tendre un thorme de Dirichlet sur 3 la convergence des sries de Fourier . Il est compos de sept parties A, B, C, D, E, F et G. Dans la partie A on tablit quelques proprits lmentaires relatives aux fonc-tions À variations bornes. En introduction de la partie B, on dfinit une notion de longueur borne et de longueur pour les fonctions À valeurs dansR. Son objectif est d’tablir des proprits gnrales sur cette notion : une ingalit triangulaire, une relation de Chasles... Dans la partie C on tablit l’quivalence entre “tre de longueur borne sur tout segment” et “tre À variations bornes”. La partie D se consacre au 1 cas des fonctions de classeC. On y dmontre qu’elles sont toujours de longueur borne et on donne une formule pour calculer leur longueur. La partie E s’intresse au cas des fonctions priodiques. La partie F est consacre À l’tude d’un exemple. Dans la partie G, on tend les dfinitions et les proprits prsentes prcdemment n aux cas des fonctions À valeurs dansR. Sauf mentions contraires explicites dans le texte, les parties de ce sujet ne sont pasa prioriindpendantes.
Notations et dÉfinition
n n PournNetAR,F(A,R)dsigne l’ensemble des fonctions deAversR. n Pour toutf∈ F(A,R)etBA,f|Bdsigne la restriction defÀB. Dans tout le problme,Idsignera un intervalle deRnon vide et non rduit À un point. Pourf∈ F(I,R), on dit quefest À variations bornèes lorsqu’il existe g∈ F(I,R)croissante eth∈ F(I,R)dècroissante telles quef=g+h.
A. PremiÈres propriÉtÉs
A1Ètablir que toute fonction monotone dfinie surIest À variations bornes. A2aMontrer que l’ensemble des fonctions À variations bornes dfinies surIest un sous-espace vectoriel deF(I,R). A2bÈtablir que ce sous-espace est engendr par l’ensemble des fonctions croissantes surI. Dans la fin de cette partie, on considÈref∈ F(I,R)une fonction À variations bornÉes, etaetbdeux ÉlÉments deItels quea < b. A3SoitαI. Dmontrer qu’il existek∈ F(I,R)croissante etl∈ F(I,R)d-croissante telles quef=k+letk(α) = 0. 1 Camille Marie Ennenmond Jordan, mathÉmaticien franÇais, Lyon 1838 – Paris 1922. 2 Gustav Peter Dirichlet, mathÉmaticien allemand, Dren 1805 – Gttingen 1859. 3 Joseph Jean-Baptiste Fourier, mathÉmaticien franÇais, Auxerre 1768 – Paris 1830.
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A4On critf=g+havecgcroissante surIethdcroissante surI. Prouver que :
g(b)g(a)>f(b)f(a)>h(b)h(a).
A5Montrer quefest borne sur le segment[a, b]. A6Ètablir qu’en tout point intrieur ÀI, la fonctionfadmet une limite À droite et une limite À gauche.
B. Fonctions de longueur bornÉe
SoientaetbdansIaveca < betf∈ F(I,R). On rappelle qu’une subdivision σde[a, b]est une suite finie, strictement croissante, qu’on peut noter(σk)06k6ppN, et vrifiantσ0=aetσp=b. Pourσ= (σk)06k6pune subdivision de[a, b]avecpN, on pose :
i=p X `(σ, f) =|f(σi)f(σi1)|. i=1
On dit quefest de longueur bornèe sur le segment[a, b]lorsqu’il existe ΛRtel que pour toutσsubdivision de[a, b]on ait`(σ, f)<Λ. Sifest b de longueur bornèe sur[a, b], on dèfinit alorsL(f), la longueur deaÀb a def, par :
b L(f) = sup{`(σ, f)|σest une subdivision de[a, b]}. a σ
a b a De plus, on pose ègalementL(f) =L(f)etL(f) = 0. b a a
Dans cette partie, on considrefetgdansF(I,R)eta, b, ctrois lments deI tels quea < c < b.
B1On suppose quefest de longueur borne sur[a, b]. Montrer que :
b L(f)>0. a
B2On suppose quefest de longueur borne sur[a, b]. Montrer que :
b |f(b)f(a)|6L(f). a
B3On suppose quefetgsont de longueur borne sur[a, b]. Ètablir quef+gest de longueur borne sur[a, b]et que :
b b b L(f+g)6L(f) +L(g). a a a
B4On suppose quefest de longueur borne sur[a, c]et sur[c, b]. On considre une subdivisionσ= (σk)06k6pde[a, b]et on pose : q= max{j∈ {0,∙ ∙ ∙, p} |σj< c} r= min{j∈ {1,∙ ∙ ∙, p} |σj> c}
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B4aJustifier l’existence deqet der. 0 00 On dfinit alors les suites finiesσetσpar : 0 σ=σjsij∈ {0, . . . , q} j 0 σ=c q+1 00 σ=c 0 00 =σsij∈ {1, . . . , pr+ 1} σj j+r1
0 00 B4bMontrer queσest une subdivision de[a, c]et queσest une subdivision de [c, b]. 0 00 B4cMontrer que`(σ, f)6`(σ , f) +`(σ , f). B4dProuver quefest de longueur borne sur[a, b]et que : b c b L(f)6L(f) +L(f). a a c
B5On suppose maintenant quefest de longueur borne sur[a, b]et on considre 0 00 une subdivision quelconqueσde[a, c]et une subdivision quelconqueσde [c, b]. B5aDmontrer qu’il existe une subdivision de[a, b], noteσ, telle qu’on ait 0 00 `(σ, f) =`(fσ , ) +`(σ , f).
B5bMontrer quefest de longueur borne sur[a, c]et sur[c, b]et que : b c b L(f)>L(f) +L(f). a a c
B6On suppose maintenant quefest de longueur borne sur tout segment deI. Soientα, β, γdansI, tablir l’galit : β γ γ L(f) +L(f) =L(f). α β α
C. Lien entre “tre de longueur bornÉe” et “tre À variations bornÉes”
On considref∈ F(I,R). C1SoientaetbdansIaveca < b. C1aSoitq∈ F(I,R)une fonction monotone. Prouver queqest de longueur borne sur[a, b]et qu’on a : b L(q) =|q(b)q(a)|. a C1bOn suppose quefest une fonction À variations bornes. Montrer quefest de longueur borne sur[a, b]. C2On suppose quefest de longueur borne sur tout segment deI. On choisitλ dansIet on dfinit alors les fonctionsgeth, pour touttI, par :     1 1 t t g(t) =f(t) +L(f) eth(t) =f(t)L(f) λ λ 2 2 Prouver quegest croissante surIet quehest dcroissante surI.
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C3En dduire quefest À variations bornes si et seulement sifest de longueur borne sur tout segment deI.
1 D. Cas des fonctions de classeC
1 On considre une fonctionf∈ F(I,R)de classeCsurI.Le but de cette partie est de montrer quefest de longueur bornÉe sur tout segment deIet que pour tous αetβdansIon a Z β β0 L(f) =|f(t)|dt. α α Z v 0 D1SoientuetvdansIavecu < v, tablir que|f(u)f(v)|6|f(t)|dt. u D2SoientaetbdansIaveca < b. Z b 0 D2aSoitσune subdivision de[a, b]. Ètablir que`(σ, f)6|f(t)|dt. a D2bDmontrer quefest de longueur borne sur[a, b]et que Z b b0 L(f)6|f(t)|dt. a a D3SoientaetbdansIaveca < b, et soit un relε >0. D3aMontrer qu’il existepNetσ= (σk)06k6pune subdivision de[a, b], tels que pour touti∈ {1, . . . , p}et pour toutxetylments de[σi1, σi]on ait ε 0 0 |f(x)f(y)|< . ba D3bProuver que pour touti∈ {1, . . . , p}il existeci[σi1, σi]tel que 0 |f(ci)|(σiσi1) =|f(σi)f(σi1)|.
D3cEn dduire que pour touti∈ {1, . . . , p}, on a Z σi 0ε(σiσi1) |f(σi)f(σi1)|>|f(t)|dt. ba σi1
D3dÈtablir que Z b 0 `(σ, f)>|f(t)|dtε. a D4Conclure. D5Ètablir quefest À variations bornes.
E. Cas des fonctions pÉriodiques
Dans cette partie on s’intÉresse aux fonctions pÉriodiques À variations bornÉes. On y utilise certains rÉsultats de la partie A. Par ailleurs, les rÉsultats de cette partie ne sont pas utilisÉs dans les autres parties.
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PourxR, on note[x]la partie entire dex. On rappelle que[x]est l’unique lment deZvrifiant [x]6x <[x] + 1. On rappelle galement que la fonction partie entire est croissante. On considre h i x TRet on dfinit la fonctionpsurRparp(x) =. + T E1Pour toutxR, montrer quexp(x)T[0, T[. E2Pouraetbdeux rels tels quea6b, tablir que :
p(a) =p(b)
ou
p(a) + 16p(b).
E3Soitf∈ F(R,R)une fonction priodique de priodeT. On suppose quef|[0,T] est À variations bornes. On peut donc criref|[0,T]=k+laveck∈ F([0, T],R) croissante,l∈ F([0, T],R)dcroissante etk(0) = 0(d’aprs A3). PourxR, on pose :
g(x) =p(x)k(T) +k(xp(x)T) h(x) =f(x)g(x).
E3aJustifier que les fonctionsgethsont bien dfinies surR. E3bSoientaetbdeux rels tels quea6b. Montrer queg(a)6g(b).   E3cMontrer que pour tout relxon a :h(x) =p(x)k(T) +l xp(x)T. E3dMontrer que pour toutu[0, T]on al(0)>l(u)>l(0)k(T). E3eProuver finalement quefest À variations bornes. E4On considre la fonction 1 ψ:x7x[x]1 E4aMontrer queψest bien dfinie surRet est priodique de priode1. E4bParmi les trois fonctionsψ|[0,1[, ψ|[0,1]etψ, quelles sont celles qui sont À varia-tions bornes ? On justifiera chacune des rponses.
Dans la fin de cette partie, on considÈre la fonctionϕdÉfinie, pourxR, par :
ϕ(x) =|sinx|+ sinx.
E5Donner, sans justification, la reprsentation graphique deϕ|[2π,2π]dans un re-pre qu’on choisira. E6Montrer queϕest À variations bornes. E7D’aprs A3 et E6, on peut crireϕ=g+havecg∈ F(R,R)croissante vrifiant g(0) = 0eth∈ F(R,R)dcroissante.   π E7aÈtablir que l’on a :nN, g(2) + 26g2+. 2 (Indication : On pourra utiliser A4.) E7bEn dduire que l’on a :nN, g()>n. E7cQue vautlimg(x)? x+E7dEn dduirelimh(x). x+
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F. Un exemple de fonction dÉrivable et bornÉe mais non À variations bornÉes
Les premiÈres questions de cette partie peuvent se traiter indÉpendamment des parties prÉcÉdentes. On tudie dans cette partie certaines proprits de la fonctionfdfinie pour xRpar : 1 2 f(x) =xsinsix6= 0 2 x f(0) = 0. F1aÈtudier la parit def. 0 F1bMontrer quefest drivable surRet calculerf(x)pour toutxrel. 1 F1cLa fonctionfsurest-elle de classe C R? F1dQue vautlimf(x)? x+F1eEn dduire quefest borne.   4n+ 1 F2Montrer que la srie de terme gnralln(n>1) est divergente. 4n1 s 2 F3On considre la suite(un)n>1dfinie parun= (2n1)π F3aVrifier que la suite(un)n>1est dcroissante et est de limite nulle. F3bSoitnN. Ètablir que q 4 Z Z un (4n1)π 1 1 2 1 cos dt>qdt. 2t t2t 4 un+1 (4n+1)π Z un 1 1 F3cProuver alors que la srie de terme gnralcos dt(n>1) est di-2un+1t t vergente. Z u1 1 1 F3dEn dduire que l’intgralecos dtest divergente. 20t t Z 1 0 F4aMontrer que l’intgralef(t) dtest convergente mais qu’elle n’est pas abso-0 lument convergente. Z 1 0 F4bQue vautlim|f(t)|dt? + x0 x F5Soientaetbdeux rels tels quea < betab60. Prouver quefn’est pas de longueur borne sur[a, b]. F6SoitJun intervalle deRnon vide et non rduit À un point. Dmontrer que l’applicationf|Jest À variations bornes si et seulement si06∈J.
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G. GÉnÉralisation au cas n des fonctions À valeurs dansR
n Dans cette partie, on considre un entiern>2et on munitRde sa structure euclidienne canonique ; la norme euclidiennek∙kassocie est donc dfinie, pourx= n (x1, . . . , xn)R, par v i=n uX t2 kxk=x . i i=1
On peut prolonger la dfinition introduite au dbut de la partie B, de fonction n de longueur borne aux fonctions À valeurs dansRde la manire suivante : n Etant donnèesaetbdansIaveca < betf∈ F(I,R), pourσ= (σk)06k6p une subdivision de[a, b]avecpN, on pose :
i=p X `(σ, f) =kf(σi)f(σi1)k. i=1
On dit quefest de longueur bornèe sur le segment[a, b]lorsqu’il existe ΛRtel que pour toutσsubdivision de[a, b]on ait`(σ, f)<Λ. Sifest b de longueur bornèe sur[a, b], on dèfinit alorsL(f), la longueur deaÀb a def, par :
b L(f) = sup{`(σ, f)|σest une subdivision de[a, b]}. a σ
a b a De plus, on pose ègalementL(f) =L(f)etL(f) = 0. b a a Dans cette partie, on considre deux lmentsaetbdeItels quea < b, et n f∈ F(I,R). Pouri∈ {1, . . . , n}, on notefilai-ime composante def. Ainsi, pour touttI, on af(t) = (f1(t), . . . , fn(t))(on remarquera quefi∈ F(I,R)). n G1SoitRun automorphisme orthogonal deR. Montrer que sifest de longueur borne sur[a, b]alorsRfl’est aussi sur[a, b]et que :
b b L(Rf) =L(f). a a
G2On suppose quefest de longueur borne sur[a, b]. Montrer que pour tout i∈ {1, . . . , n}, la fonctionfiest de longueur borne sur[a, b]et que :
b b L(fi)6L(f). a a
G3On suppose que pour touti∈ {1, . . . , n},fiest de longueur borne sur[a, b]. Dmontrer quefest de longueur borne sur[a, b]et que :
i=n X b b L(f)6L(fi). a a i=1
G4Dmontrer quefest de longueur borne sur tout segment deIsi et seulement si pour touti∈ {1, . . . , n},fiest À variations bornes.
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