Capesext premiere composition de mathematiques 2007 capes maths capes de mathematiques

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´Capes externe de mathematiques : session 2007`Premiere compositionINTRODUCTIONL’objet du probl`eme est l’´etude de la suite (s ) d´ efinie par :n n≥1n 1∀n≥ 1,s =n 2kk=1Dans une premi`ere partie, nous nous attacheronsad` ´emontrer, de diff´erentes fa¸ cons,par des m´ethodes ´el´ementaires, que cette suite converge. Les parties 2, 3 et 4 suivantesseront consacr´ees `alad´etermination de sa limite S par divers moyens. Les parties 5 et6 utiliseront la valeur de S pour calculer la somme de certaines s´eries num´eriques.On rappelle que, pour tous entiers m, n v´ erifiant m≤ n, on note [m, n] l’intervalled’entiers[[m, n]] = {p∈ Z | m≤ p≤ n}`PREMIERE PARTIE : Convergence de la suiteDans cette partie, le candidat utilisera uniquement les connaissances faisant partiedu programme de Terminale S.1. Premi`ere m´ethodea) D´ emontrer que, pour tout entier k≥ 2, on a la majoration1 1 1≤ −2k k− 1 kb) En d´eduire que la suite (s ) est major´ee.n n≥1c) D´ emontrer que la suite (s ) converge et donner un majorant de sa limite.n n≥1Dans toute la suite du probl`eme, on notera S cette limite.2. Deuxi`eme m´ethodeOn consid`ere la suite (t ) ,d´efinie par :n n≥11∀n≥ 1,t = s +n nna) D´ emontrer que les suites (s ) et (t ) sont adjacentes.n n≥1 n n≥1−1b) Donner, en le justifiant, un encadrement d’amplitude 10 de S.3. Troisi`eme m´ethodeEcrire le texte d’un exercice de niveau terminale S d´emontrant, par comparaison a`une int´egrale, la convergence de la suite (s ) ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Capesexternedemath´ematiques:session2007 Premi`erecomposition
INTRODUCTION Lobjetduprobl`emeestl´etudedelasuite(sn)n1´dr:apeine n 1 n1, sn= 2 k k=1 Dansunepremi`erepartie,nousnousattacherons`ad´emontrer,dedi´erentesfac¸ons, pardesme´thodese´l´ementaires,quecettesuiteconverge.Lesparties2,3et4suivantes serontconsacr´ees`alad´eterminationdesalimiteSpar divers moyens. Les parties 5 et 6 utiliseront la valeur deSsolaedmmlccaerulruopques.snum´erise´sreeicereatni On rappelle que, pour tous entiersm,n´evtniramn, on note[m, n]l’intervalle d’entiers [m, n]={pZ|mpn} ` PREMIERE PARTIE : Convergence de la suite Dans cette partie, le candidat utilisera uniquement les connaissances faisant partie du programme de Terminale S. 1.ere`imerPdehoetm´ a)opruotturtreuq,eonemD´entierk2 ,on a la majoration 1 11 ≤ − 2 k k1k b)ueidads´erleuqiu(Entesn)n1ojamtse.ee´r c)ti(eDntre´emolasurquesn)n1converge et donner un majorant de sa limite. Danstoutelasuiteduproble`me,onnoteraScette limite. 2.th´eememi`uxDedoe Onconside`relasuite(tn)n1,d:´inerape 1 n1, tn=sn+ n a)emD´tronustise(reuqlesesn)n1et (tn)n1sont adjacentes. 1 b)Donner, en le justifiant, un encadrement d’amplitude10 deS. 3.`emeoisiTrohed´mte EcrireletextedunexercicedeniveauterminaleSde´montrant,parcomparaison`a uneinte´grale,laconvergencedelasuite(sn)n1. 1
` DEUXIEMEPARTIE:Utilisationdepolynoˆmes
2n 1.SoitPC[X]unnˆompolyge´rdedeen1 :P(X) =a0+a1X+a2X+∙ ∙ ∙+anX . n Rappeler la formule permettant de calculer la sommeσ1=αi=α1+∙ ∙ ∙+αn i=1 des racines dePen fonction de ses coefficientsak, k[0, n].
2. a)SoientpNetϕR´gelatiomtnerlr´e.D´e p   2p+1k2p2k2k+1 sin (2p+ 1)ϕ= (1) cos(ϕ() sinϕ) 2k+1 k=0 2p+1ou`de´signelecoecientbinoˆmialpourk[0, p]. 2k+1 b)reitnetuotruo,pueeqirdu´endEpNteopruottu´reelϕ≡0[πon a] , p   2p+1   pk 2p+1k2 sin (2p+ 1)ϕ= sin(ϕ) (1) cotanϕ 2k+1 k=0 cosϕ o`ucotanϕ=. sinϕ 3.SoitpNetPR[X:lear]´oemnedˆilpypno p   2p+1 k pk P(X() =1)X 2k+1 k=0   2a)Pour tout entierk[1, p], on poseγk= cotan.CalculerP(γk) 2p+ 1 pour toutk[1, p]. b)qer´eirp,eVutruotuok[1, p]er,lel´epaaptreitn`alintervalle 2p+ 1 π ]0,dnE.[qeriude´lypoleueeomnˆPedsse`popracines distinctes, que l’on 2 d´eterminera. c)e´agleseudridne´E:est´li p  kπ p(2p1) 2 cotan = 2p+ 13 k=1 p 1 2p(p+ 1)  = 3 2 sin k=1 2p+ 1 2
π 4. a)tourr´utrentpor,Dome´eelϕ]0,[ ,les encadrements 2
0<sinϕ < ϕ <tanϕ
b)uttourpoe,qureuide´dnEreneitpon a l’encadrement1 ,
p 2 p(2p1) (2p1 2+ 1)p(p+ 1) < < 2 2 3π k3 k=1
2 π c)´emontrerqueDS= . 6 5.(Montrer que les suitesun)n1, (vn)n1et (wn)n1espa´endr:
n nn k+1  1 1(1) n1, un=vn=wn= 2 22 (2k) (2k+ 1)k k=1k=0k=1 sontconvergentesetde´terminesrlesvaleursexactesdeleurslimites,respectivement note´esU,VetW. ` TROISIEMEPARTIE:Utilisationdesinte´gralesdeWallis
Pour tout entiernN, on pose ππ n2 4 (n!) 22n22 2n In= costdt, Jn=tcostdtetKn=Jn (2n)! 0 0 1.selargec´ltanCriesleulI0etJ0. 2n+ 1 2. a)ntmo´eDturuoteuoperqrnN,on a :In+1=In 2n+ 2 (enapr`senp:orrouacidnoitnIes.parpartigearitnouaenni´t) (2n)!π b)tuEonreuiedd´rtouepqunN,on a :In= n2 4 (n!) 2 3.Soitn1 . 2 a)nort´DmelaerlareontiIn=n(2n1)Jn12n Jn π b)End´eduirequeKn1Kn= 2 4n n π1 c)n=De´omtnerlrraletaoiJ0Kn 2 4k k=1 π π 4. a),puertoutrouel´ee´Dtnomqrerx[0,on a :] ,xsinx 2 2 3
b)op,euqernetuotrutieruiedd´Enn, on a 2 3 π Inπ 0Jnpuis 0Kn8(n16(+ 1)n+ 1) c)Retrouver la valeur deS.
` QUATRIEME PARTIE : Noyau de Dirichlet Pour tout entiernon note1 ,Dnlenoyau deDirichlet:d,n´earip n 1 xR, Dn(x+ cos() =kx) 2 k=1 1.rtou,pueientteourmontrerqD´enotte1lee´rtux≡0[2π] ,on a     1 sinn+x 1 2 Dn(x) = x 2 sin 2 2.Pour tout entiernon note1 ,Lnlint´egrale π Ln=xDn(x) dx 0 π a)erulinlegt´leraaCclxcos(kx) dxpour tout entierk1 . 0 b)Edne´udriqeeu n n   2 π1 1 k Ln=+ (1) 2 2 4k k k=1k=1 3.On notefleprgemeoloncrnotnaptie´ituntcnodnoid0nefaleirlerntn´esuieavlle x   ]0, π] par:x. x sin 2 1 D´emontrerquelafonctionfest de classeCsur l’intervalle[0, π] . 1 4.Soitφ: [0, π]Rune fonction de classeCsur [0, π.]emD´tronquere π limφ(x) sin(λx) dx= 0 λ+0 (opru:nnosnrearepIationdictraprapn.seinteiun`aioatgr´e) 5. a)merqreuilDe´omtnLn= 0. n+b)Retrouver la valeur deS.(alanue`obteeWSttneroienletaerisaralOnilut question5deladeuxie`mepartie) 4
` CINQUIEME PARTIE : Une somme double
L’objet de cette partie est de calculer la limite de la somme double   N M   1 lim lim M+N+nm(n+m1) n=1m=1
N 1 On pose, pour tout entierN1, HN= n n=1 1. a)truoettneirD´emontrerquepouN1,ln(1 +on a :N)HN1 + ln(N) HN b)Eriude´dnlimeque=0 N N+c)meno´DuqpertreeitnrtruoetuoM2,on a :
M1M   Hm1HM =2 m(m+ 1)m M m=1m=1
+Hm d)etgeernvcoeire´salite.lamiensrreim´dteduirequeEnd´e m(m+ 1) m=1 2.Pour tous entierN1 etpour tout entierm2,on pose
N 1 ZN,m= n(n+m1) n=1
a)ourtquepntieouter´Dnomerertm2   N+m1 1 1 ZN,m=Hm1m1n n=N+1
Hm1 b)ilme´dnEeuqeriudZN,m= m1 N+3. a)Montrer que pour tout entierN1 etpour tout entierMa :2 on
b)Montrer que
N MN M    1 1ZN,m = + 2 nm(n+m1)n m n=1m=1n=1m=2
N MM 2  1π Hm1 lim =+ N+nm(n+m1) 6m(m1) n=1m=1m=2
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