Capesint composition de mathematiques 2006 capes maths capes de mathematiques

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CAPES interne 2006Probl`eme 1NotationsDans le probl`eme, pour toute fonction h d´efinie et d´erivable sur un intervalle I `a valeurs dansR,′on note h sa fonction d´eriv´ee.On note E l’ensemble des fonctions f d´efinies et continues sur l’intervalle [0; 1], d´erivables surl’intervalle [0; 1[, `a valeurs dansR et v´erifiant les propri´et´es suivantes :• f(0) = 0• f(1) = 1′ ′′• f est d´erivable sur [0; 1[ et on note f sa fonction d´eriv´ee′• ∀x∈ [0 ; l[, f (x)> 0′′• ∀x∈ [0 ; l[, f (x)> 0.Pour toute fonction f de E, on note :˜ ˜• f la fonction associ´ee `a f, d´efinie sur l’intervalle [0; 1] par f(x) =x−f(x);Z Z1 1˜• I(f) le r´eel d´efini par I(f) = 2 f(x)dx = 2 [x−f(x)]dx.0 0I(f) est appel´e indice de Gini de f.On admettra que si une fonction continue sur l’intervalle [0; 1] est monotone ou strictement mo-notone sur l’intervalle ]0; l[, il en est de mˆeme sur l’intervalle [0; 1].´Partie I Etude de quelques ´el´ements de E1. Soit f la fonction num´erique de variable r´eelle x d´efinie sur l’intervalle [0; 1] par : 3 2xxf(x) =λ + +x ou` λ est le nombre r´eel tel que f(1) = 1.3 21.1. Pr´eciser la valeur de λ.1.2. D´emontrer que f est un ´el´ement de E.1.3. D´emontrer que pour tout x appartenant a` [0; 1] : x−f(x)> 0.′1.4. Dresser le tableau de variation de f. On pr´ecisera les valeurs exactes prises par f en 0et 1.1.5. Tracer la courbe repr´esentative de f dans le plan muni d’un rep`ere orthonormal d’unit´egraphique 10 cm.1.6. Application ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Proble`me1
CAPES interne 2006
Notations Dansleprobl`eme,pourtoutefonctionhd´eetdeniavlbe´irnuniserulealrvteeualavI`snadsrR, on notehno´dreviasofcnit´ee. On note E l’ensemble des fonctionsfetvrlnissrunieueriv],d´[0;1allerusselbaetesntcod´nielintervalle[0;1[,`avaleursdansRltnarpseirpo´te´v´etieressuivantes: f(0) = 0 f(1) = 1 ′ ′′ fonnote[1etabiverd´0;r[suleetsffasiondonctv´ee´eri • ∀x[0 ;l[, f(x)>0 ′′ • ∀x[0 ;l[, f(x)>0. Pour toute fonctionfde E, on note : ˜ ˜ fnctionaslafoa`ee´icosfllvaerntirlsuiene´d,r]1ap[e;0f(x) =xf(x) ; Z Z 1 1 ˜ I(feern´ieel)dl´parI(f) = 2f(x) dx= 2[xf(x)] dx. 0 0 I(feGinide)e´leppatsdecidnief. On admettra que si une fonction continue sur l’intervalle [0; 1] est monotone ou strictement mo notonesurlintervalle]0;l[,ilenestdemˆemesurlintervalle[0;1].
´ Partie Iqleu´seudutEqedeeEsd´eelntme
1. Soitfelleer´edeuqire´lbairaveonaflumnnioctxitnuslrll[ereav1]0;r:panied´e   3 2 x x f(x) =λ+ +xu`oλuqetselenombrer´eeltelf(1) = 1. 3 2 1.1.Pre´ciserlavaleurdeλ. 1.2.D´emontrerquefeE.entd´lmenue´ets 1.3.D´emontrerquepourtoutxntna[0`appatear1;:]xf(x)>0. 1.4. Dresserle tableau de variation def.esarelvsnOrpe´icteacrispeualexrspsesrafen 0 et 1. 1.5.Tracerlacourberepr´esentativedefnoroamdluin´teunnmlaepslandhtroere`pernudi graphique 10 cm. 1.6.ppAacilnoitoce´minoequ Onpeutconside´rerquelafonctionfrend compte de la concentration des richesses des habitantsdunpaysdonne´.Parexemple,f(0,3)0,19signifie que30% des habitants (lespluspauvres)posse`dentenviron19% des richesses du pays. Dans ces conditions, l’indice de Gini donne une indication sur la concentration des richesses dans ce pays. CalculerlindicedeGinipourlepaysconsid´er´e.Endonneruneinterpre´tationgraphique. 2. Soitnun entier naturel strictement positif etfneledarav´eumquriellelbaie´renotcoinnlfa n xuslrneireavitn0;1]lel´ed[par:fn(x) =x. 2.1.De´montrerquefne´emtned.Eeln´tues 2.2. CalculerI(fn). 2.3.De´montrerquelasuite(I(fn)).eetimilasresice´rtpeentgeernvcost nN3. Soitnetemrtcierslanuttierunenturie1e`asunterp´gnlbeelavaria´eriquedoitcmunnlnofa re´ellexde´npa1]0;e[r:ilruseillavretn 1 n gn(x) = 1(1x).
3.1.D´emontrerquegnemtned.Etun´el´ees 3.2. CalculerI(gn). Comparer (I(fn)) et (I(gn)) pour tout entier natureln >1. 3.3. Danscette question, on supposen= 2. 3.3.1.R´esoudredanslintervalle]0;1[le´quationf2(x) =g2(x). 3.3.2. Justifierle sens de variations des fonctionsf2etg2.   p 3.3.3. Donner sous la forme d’un tableau les valeurs def2et les arrondis au 10   p centi`emedeg2pourpentier compris entre 0 et 10. 10 3.3.4.Tracerlescourbesrepr´esentativesdef2et deg2rnpee`erdslanlaepunnmuid orthonormaldunit´egraphique10cm. 3.3.5.Donneruneinterpr´etationgraphiquedelarelationquiexisteentreI(f2) etI(g2). 3.3.6.Danslecasou`f2etg2rendent compte de la concentration des richesses des habitantsdedeuxpaysdie´rents,quevautlindicedeGinipourchacundeces deux pays? Dans ce cas, l’indice de Gini vous sembletil signifiant? ˜ Partie IIest´ladencfoontileuQseuqporpe´irf ˜ Onconsid`eredanscettepartieunefonctionf´eme´eleEttnedfeei´`anaioocssnotclfaf ˜ 1.De´montrerquepourtoutxppartenaa:]tna`0[1;f6x. ˜˜ 2.Danscettequestionon´etudielafonctionfedevie´´dref. ´ ˜ 2.1. Etudierle sens de variation de la fonctionfsur [0; 1[. ˜ 2.2.D´emontrerquesilonsupposeque,pourtoutx]a`t[1;0,appartenanf(x)<0, on aboutit`auneimpossibilite´. ˜Demˆeme,d´emontrerquesilonsupposeque,pourtoutxt`a]0;l[partenana,pf(x)>0, onaboutit`auneimpossibilite´. ˜ 2.3.Ende´duirequilexisteune´l´ementx0; 1[ tel que :de ]0f(x0) = 0. ˜˜ 3.De´montrerqueftnisalofcnitno`aalie0seutsmele(se)0ge´tfest nulle sur [0 ; 1]. Que.peut on dire alors de la fonctionf? ˜4. Onsuppose dans cette question quef(0)6= 0. ´ ˜˜4.1. Etudierle signe defseavirtae´iceslr0;1[etprsur[densiof; 1].sur l’intervalle [0 ˜4.2. Justifierque, pour toutxelt.aintpnpara`avlaltnre1[:e]0;f(x)>0. ˜ 4.3.End´eduire.quelafonctionf; 1] un maximum, strictement positif, atteintadmet sur [0 enx0. Partie IIIet´epri´sprolqueGenicideidndsleiueQ Lesre´sultatsdelapartieIIpourrontˆetreutilis´espourr´esoudrelesquestionsdelapartieIII.
˜ Dans toute cette partie,fouetgnsinesuurjoe´ditnoofcntedeEfctioafonoci´nassa`eelf 1.De´montrerqueI(f)>0. 2.D´emontrerqueI(f)61. 3.Danscettequestion,onveutd´emontrerqueI(f)<1. 3.1.Prouverque,pourtoutre´elαpaap:an0;a[,o1[enrtt`an Z 1 f(x) dx>f(α)(1α). 0 3.2.D´emontrerquelaconditionfee´rli1pmiluq1(=)encedunelexistα0de l’intervalle ]0; 1 1[ tel quef(α0)>. 2 3.3.End´eduirequeI(f)<1. ` 4.Alaidedelaquestion2.3..delapartieI,d´emontrerque,quelquesoitler´eelA <1, on peut trouver une fonctionfde E telle queI(f)> A. ˜5. Danscette question, on suppose quef(0)6e`diern0o=tesnocx0t`anialpaapenrtetnreavll ˜]0 ;1 [tel quef(0) = 0. On noteϕrivaladeueiqerm´unnoitcnofalbaelx0;lle[ervaintuslrneide´x0] par : x ˜ ϕ(x) =f(x)M x0
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