CCENS 1999 mathematiques lyon et cachan classe prepa mp

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LCC 550 J. 6285 9 SESSION DE 1999 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - (Épreuve commune aux ENS : Lyon et Cachan - Groupes M, 1 et MP) DURÉE : 4 heures L'usage de calculatrices est interdit Tournez la page S.V.P. Notations: Dans tout le problème, on appelle polynôme homogène en les variables al,. . . , x, de degré d à coefficients entiers une expression Q de la forme où An,d = { Q = (QI,. . . ,an) E N“)Q~ +. . . +an = d} et pour tout cr E An,d, le coefficient a, appartient à Z. On notera Z(d)[a1, . . . , x,] l’ensemble des polynômes homogènes en les variables xl,. . . , x, de degré d à coefficients entiers. 1. Préliminaires, premiers exemples Soient Q et R dans Z(d)[a1, . . . , an]. Dans tout le problème, on dira que Q est équivalent à R s’il existe une matrice M E GL(n,Q) (groupe des matrices carrées n x n inversibles et à coefficients rationnels) et un rationnel non nul c tels que &(.) =cR(eJM) où = (al,. . . , z,), tM est la transposée de la matrice M = (mij)lsi,jsn et n n i= 1 i= 1 a) Montrer que “être équivalent à” est une relation d’équivalence sur l’ensemble 1.1 Z&1, *. . ,an]. b) Soit p un entier non nul. Montrer que /.L 10 al 2 +p4a1 22 +xi est équivalent à a: + a1 52 +p2 ai dans Z(2)[a1, 4. (Indication: on prendra M diagonale). 1.2 a) Soit Q (a1,. . . , an) = a as E Z(2)[51,. . . , z,] où i est fixé entre 1 et n et a dans Z \ {O}. Montrer que Q est équivalent à x:. b) Soit Q (al, x2) = aaf+bzl X~+CX~ E 2(2)[a1,52], (a, b, c) # (O, O, O). ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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