CCENS 2000 mathematiques classe prepa b/l

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ENSSESSION DE 2000COMPOSITIONDE MATHEMATIQUESSujet commun : ENS Ulm-Cachan-FontenayDurØe : 4 heuresL ØnoncØ comporte 5 pagesCalculatrice autorisØe1/5PROBLEMEIDans ce problŁme, on Øtude quelques propriØtØs des suites ØquidistribuØes et l’on montre la loi de Benford sur lespuissances de deux. C([0;2];R) est l’ensemble des fonctions continues à valeurs dansR dØ…nies sur l intervalle [0;2]: Si x 2R; on note E(x) la partie entiŁre de x; c est- -dire l unique k 2Z tel que k6x 0; il existeN 2N tel que pour toutN>N1 2 0 0on a :( )2 106F ( ) F ( )6 +":N 2 N 12(b) Montrer que pour tout 2 [0;2];1 lim #fn 2N ; n6N tel que u =g = 0nN!+1N(on pourra commencer par Øtudier le cas 2]0;2]):2. Soit (u ) une suite ØquidistribuØe dans [0;2]:n n2N(a) On note I un intervalle ouvert inclus dans [0;2], et f = 1 la fonction ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ENS
SESSION DE 2000
COMPOSITIONDEMATHEMATIQUES
Sujet commun :ENS Ulm-Cachan-Fontenay
Durée :4 heures
Lénoncé comporte 5 pages
Calculatrice autorisée
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PROBLEME I Dans ce problème, on étude quelques propriétés des suites équidistribuées et lon montre la loi de Benford sur les puissances de deux. C([0;2];R)est lensemble des fonctions continues à valeurs dansRdénies sur lintervalle[0;2]:
Six2R;on noteE(x)la partie entière dex;cest-à-dire luniquek2Ztel quek6x < k+ 1:
On désigne parRzetFz(resp.RfetFf)les parties réelles et imaginaire dun nombre complexez(resp. les fonctions parties réelle et partie imaginaire dune fonctionfà valeurs complexes).
On désigne par #Ele cardinal, cest-à-dire le nombre déléments, dun ensemble niE:
PARTIE I Soit(u pourtout2]0;2]et toutN2N un)n2Nne suite déléments de[0;2]note. On 1 FN(#) =fn2N; n6Ntel queun2[0; [g: N est é On dit que(un)n2Nquidistribuée dans[0;2]si 82]0;2];limFN() =: N!+121. Soit(un)une suite équidistribuée dans[0;2]: n2N (a) Montrerque pour tous0< 1< 262et pour tout" >0;il existeN02Ntel que pour toutN>N0 on a : (21) 06F()F()6+": N2N1 2(b) Montrerque pour tout2[0;2]; 1 lim #fn2N; n6Ntel queun=g= 0 N!+1N (on pourra commencer par étudier le cas2]0;2]): une suite équidistribuée dans[0;2]: 2. Soit(un)n2N
(a) OnnoteIun intervalle ouvert inclus dans[0;2], etf= 1Ila fonction caractéristique deI;dénie par : 8x2[0;2]nI f(x) = 0;8x2I; f(x) = 1: N 1P Déterminerlimf(un): N!+1N n=1 (b) Onappelle fonction en escalier sur[0;2]une fonctionfpour laquelle il existep2Netp+ 1réels 0 =a0< a1<  < ap= 2tels quefest constante sur chaque intervalle de la forme]ai; ai+1[: N 1P Exprimerlimf(un)lorsquefest une fonction en escalier. N!+1N n=1 (c) Soitf2C([0;2];R):On admettra que, pour tout" >0;il existeg"fonction en escalier sur[0;2] telle quesupjf(x)g"(x)j< ":Montrer que x2[0;2]
2NZ X 1 1 limf(un) =f(t)dt N!+1N2n=1 0
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3. Soitmaintenant une suite( )délément0;2]; un n2Ns de[0;2]telle que, pour toute fonctionfcontinue sur[ on a 2NZ X 1 1 limf(un) =f(t)dt N!+1N2n=1 0 Montrer que cette suite est équidistribuée dans[0;2]
PARTIE II Sifest une fonction continue à valeurs complexes dénie sur[0;2];alorsRfetFfsont continues sur cet intervalle, et on note 222Z ZZ f(t)dt=Rf(t)dt+iFf(t)dt 0 00 Soita2R:On dénit u)par :8n2N; u= 2(n ne suite(un n2NnaE(na)): 2R 1 1. Calculerexp(ikt)dtpourk2Z: 20 2. Onsupposeairrationnel, cest-à-dire élément deRnQ: N P (a) Exprimerexp(ikun)pour toutk2Z: n=1 (b) Unpolynôme trigonométrique est une fonctionPdénie sur[0;2]par : p X P(t) =ckexp(ikt); k=p p2Net lesck(k=p; :::; p)sont2p+ 1Montrer que pour tout polynômenombres complexes. trigonométriqueP;on a 2NZ X 1 1 limP(un) =P(t)dt: N!+1N2n=1 0 (c) On admet que pour toute fonctionf2C([0;2];R)et pour tout" >0;il existe un polynôme trigonométriquePtel quesupjf(x)P(x)j< ":Montrer que ce polynômePpeut être supposé à x2[0;2] valeurs réelles.En déduire que la suite(un)est équidistribuée. n2N N2R pP1 3. Lenombreaest maintenant élément deQ:a=; p2N; q2N:En étudiantexp(ikun)etexp(ikt) q2n=1 0 nes distribuée. pour une valeur dek2Zbien choisie, montrer que la suite(un)n2Nt pas équi PARTIE III pp n+1 1. Montrerquil existe une constanteC(à déterminer) telle que pour toutn2N;si1062610;avec p2N;alorsp=E(nC) n 2. Soitn2N:Montrer que le premier chi¤re (à gauche) dans lécriture décimale de2estk; k2 f1;2; ::;9g, si et seulement si   nln 2 lnk6nln 2(ln 10)<ln(k+ 1) ln 10   3. PourN2Netk2 f1;2; ::;9g;on noteXk(N)le nombre dentiersn2N; n6Ntels que le premier 1 n chi¤re dans lécriture décimale de2estk:DéterminerlimXk(N): N!+1N ln 2 (On admettra ici que=2Q) ln 10
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4. Quel sens peut-on donner à la phrase suivante :" Quand on choisit au hasard un nombre qui est une puissance de2;il y a plus de chance que ce nombre commence par1que par2;par2que par3;..., par8 que par9" ?
PROBLEME II Dans ce problème, on cherche à décrire lensemble des endomorphismes dun espace vectoriel laissant invariants tous les vecteurs dun hyperplan donné. SoitEun espace vectoriel surRde dimensiondavecd>2:On considère un hyperplanHdeEsous-espace(i.e. un vectoriel deEde dimensiond1)etuun endomorphisme deEtel que u(h) =h;pour touth2H; i.e. laissantinvariant tout élément deH:
PRELIMINAIRES Soitaun vecteur deEqui nappartient pas àH: 1. Montrerquil existe un unique réelet un uniqueha2Htel que u(a) =a+ha:
2. Montrerque le réelne dépend pas du choix dea2= H:
PARTIE I On suppose dans cette partie que6= 1: 1. Montrerqueest valeur propre deu:En déduire queuest diagonalisable et que lespace propre associé à ;notéE, est de dimension1: 2. Montrerque les seules droites vectoriellesD(i.e. lesseuls sous-espaces vectoriels deEde dimension1)tels queu(D)Dsont les droites contenues dansHou dans la droiteE: SoitVun sous-espace vectoriel deE: 3. Montrerque siEVouVHalorsu(V)V: 4. Onsuppose dans cette question queE(VetV(Het lon désigne parDune droite vectorielle telle que DVetD(H: (a) SoitF=E+D:Vérier queu(F)F: (b) Montrerqueu(V)(V: 5. Déduiredes question précédentes, une condition nécessaire et su¢ sante pour queu(V)V:
PARTIE II On suppose dans cette partie que= 1: 1. Montrer quil existe une application linéaire, notéef;deEdansRtelle quef(x) = 0si et seulement si x2H: 2. Montrerquil existe un unique vecteurc2Htel queu(x) =x+f(x)cpour toutx2E: 3. Montrerqueuest bijective et calculer son inverse. On suppose queunest pas lapplication identité.
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4. Décrireles valeurs propres et les espaces propres deu:
5. Enchoisissant une base adéquate deE;donner une forme matricielle la plus simple possible deu:
6. Donnerune condition nécessaire et su¢ sante sur un sous-espaceVdeEpour queu(V)V:
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