CCENS 2000 mathematiques paris et lyon classe prepa mp

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J. 1025 UL O11 SESSION 2000 Filière MP MATHÉMATIQUES (Épreuve commune aux ENS : Ulm et Lyon) DURÉE : 6 heures La calculatrice n 'est pas autorisée Tournez la page S.V.P. 1 l -2- ~ Soit f une fonction dans C””(Rd,Rd) (définie sur Rd et à valeurs dans Rd). L’objet de ce problème est l’étude de propriétés qualitatives du système d’équations différentielles -= dx(t) j(x(t)) dt où x est une fonction définie sur un intervalle de R à valeurs dans Rd. La norme euclidienne usuelle de ad sera notée JI.JI et B(x,r) désignera la boule ouverte de centre x et de rayon r. On notera %z la partie réelle du nombre complexe z. La différentielle de f en un point xo E Rd sera notée df(xo). Soit xo E R~ et trois réels tl < to < t2. On dira qu’une solution 2 E C’([tl,t2],Rd) de (E) passe par xo à l’instant to si z(t0) = 20. Une solution x(t) de (E) sera aussi appelée trajectoire de (E). On admet le théorème de Cauchy-Lipschitz (avec dépendance C” en les données initiales), qu’on utilisera sans démonstration: Théorème 1 Théorème de Cauchy-Lipschitz. Soit f E C””(R’,R‘) et to E IR, zo E IW~. lors il existe T > O et r > O et une jonction $(t, y) de classe C”, définie sur ]to - T, to + T[ xB(z0, r), Ci valeurs dans &td, telle que pour tout (t, y) €]to - T’t0 + .[xB(xo,r). On rappelle d’autre part qu’il existe une unique solution maximale z(t) de (E) passant par zo en to. Cette solution est définie sur un intervalle ouvert ]u,b[ avec a < to < b et si b < $00 ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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