CCENS 2001 mathematiques classe prepa b/l

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ENSSESSION DE 2001COMPOSITION DE MATHEMATIQUESSujet commun : ENS Ulm-Cachan-FontenayDurØe : 4 heuresL ØnoncØ comporte 5 pagesCalculatrice autorisØe1/5EXERCICEIOn jette au hasard r jetons dans n boites (n> 3) de la fa on suivante : chaque jeton a la mŒme probabilitØ detomber dans chacune des boites et on suppose que les jetons sont lancØs indØpendamment les uns des autres.Łme1. Soit A l ØvŁnement " la i boite n?a pas re u de jeton ". Calculer P(A ):i i2. Soit N le nombre de bo tes n?ayant pas re u de jeton. Calculer E(N ) (on pourra exprimer N en fonctionn n ndes variables 1 pour i2f1;::;ng oø 1 prend ses valeurs dansf0;1g et vaut 1 si et seulement l?ØvŁnementA Ai iA est rØalisØ).i2 23. Calculer P(A \A ) pour tout (i;j)2f1;::;ng puis calculer E(N ): En dØduire la variance V(N ) de N :i j n nn4. On considŁre ici un nombre variable n de boites et l on fait dØpendre r de n (on notera alors r = r ): Onnrnsuppose qu il existe c2R tel que !c lorsque n tend vers l?in ni.n(a) Calculer la limite de E(N =n) lorsque n tend vers l?in ni.n(b) la limite de V(N =n) lorsque n tend vers l?in ni.n2 2(c) Soit "> 0: Montrer que " 1 6 (N =n E(N =n)) :n njN =n E(N =n)j>"n nEn dØduire que P(jN =n E(N =n)j> ") ! 0 lorsque n tend vers l?in ni. Quelle est la signi cationn nde ce rØsultat ?EXERCICEII2 2Soit f apl plication de R dans R dØ?nie par (x;y) 7! (2x + 3y;x + 2y), et A la matrice de f dans la base2canonique deR :2 2 2 2 2 2On dØ nit C =f(x;y)2R = x 3y = 1g et E ...
Publié le : mardi 5 juillet 2011
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SESSION DE 2001
COMPOSITIONDEMATHEMATIQUES
Sujet commun :ENS Ulm-Cachan-Fontenay
Durée :4 heures
Lénoncé comporte 5 pages
Calculatrice autorisée
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EXERCICE I On jette au hasardrjetons dansnboites(n>3)de la façon suivante :chaque jeton a la même probabilité de tomber dans chacune des boites et on suppose que les jetons sont lancés indépendamment les uns des autres. ème 1. SoitAilévènement " laiCalculerboite na pas reçu de jeton ".P(Ai): 2. SoitNnCalculerle nombre de boîtes nayant pas reçu de jeton.E(Nn)(on pourra exprimerNnen fonction des variabl; ng1prend ses valeurs dansf0;1get vaut1si et seulement lévènement es1Apouri2 f1; ::Ai i Aiest réalisé). 2 2 3. CalculerP(Ai\Aj)pour tout(i; j)2 f1; ::; ngpuis calculerE(N):En déduire la varianceV(Nn)deNn: n 4. Onconsidère ici un nombre variablende boites et lon fait dépendrerden(on notera alorsr=rn):On rn suppose quil existec2Rtel que!clorsquentend vers linni. n (a) Calculerla limite deE(Nn=n)lorsquentend vers linni. (b) Calculerla limite deV(Nn=n)lorsquentend vers linni. 2 2 (c) Soit" >0:Montrer que"16(N = jNn=nE(Nn=n)j>" nnE(Nn=n)): En déduire queP(jNn=nE(Nn=n)j>")!0lorsquentend vers linni.Quelle est la signication de ce résultat ?
EXERCICE II 2 2 Soitflapplication deRdansRdénie par(x; y)7!(2x+ 3y; x+ 2y), etAla matrice defdans la base 2 canonique deR: 2 22 22 2 On dénitC=f(x; y)2R= x3y= 1getE=f(x; y)2N= x3y= 1g:
1. (a)LapplicationfSi oui, calculer son inverse.est-elle inversible ? (b) Montrerquef(C) =C: 2n 2. Montrerquefest un endomorphisme diagonalisable deR;puis déterminerApour toutn2N: 3. Onprend(x0; y0)2Eet on dénit la suite((xn; yn))n2Npar récurrence en posant, pour toutn2N;(xn; yn) =f((xn1; yn1)): (a) Montrerque les éléments de cette suite appartiennent àE: 2 (b) Vérierque(1;0)2Eet en déduire, dansN;une innité de solutions, que lon explicitera, de léquation 2 2 x3y= 1:
PROBLEME Dans ce problème, on étudie un résultat de théorie de jeux du à Blackwell, avec une application à lexistence de partitions bien réparties sur lensemble des entiers.
NOTATIONS d Dans le problème, on noteraR;dest un entier strictement positif, lensemble desd-upletsu= (u(1); :::; u(d)) d de réels. Pour tout vecteuru2R;on dénit la longueur deu;notéekuk, par v d uX t2 kuk= (u(i)): i=1
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d De plus, pour tous vecteursuetvdeR;on dénit< u;v >par
d X < u;v >=u(i)v(i): i=1
Enn, une suite réelle(un)n>1est dite bornée parM2R+;si pour toutn2N;on ajunj6M:
PRELIMINAIRE Soient(wn)n>1et(an)n>1deux suites de réelspositifs, telles que la suite(an)n>1est bornée par un réelM2R+ et pour tout entiern>1   2 n an w6w+ (1) n+1n 2 n+ 1(n+ 1) On veut montrer, dans ce préliminaire, qualors la suite(wn)n>1tend vers zéro lorsquentend vers+1:
1. Montrerle résultat dans le cas où la suite(an)n>1est identiquement nulle.
2. Montrerque pour tout entierk>0;on a   2 n k wk+16wn+M 2 n(+ 1k+ 1)
3. Endéduire le résultat annoncé, i.e.limwn= 0 n!+1
PREMIERE PARTIE Soit(xn)n>1une suite de réels bornée par un réelM2R+:On note, pour toutn2N;
n X 1 xn=xk: n k=1 On suppose que la suite(xn)n>1satisfait la propriété suivante : xn+1xn60;8n2N(2) 1. Montrerque la suite(xn)n>1est bornée parM 2. Montrerque pour toutn2N;   2 n1 2 22 jxn+1j6jxnj+jxn+1j 2 n(+ 1n+ 1)
3. Montrerque limxn= 0(3) n!+1 4. Donner un contre-exemple à la limite (3) lorsquon ne suppose plus que la suite(xn)n>1est bornée, la propriété (2) restant vériée.
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DEUXIEME PARTIE d Soientd2Netla partie deRdénie par d  =f(x(1); :::; x(d))2R= x(i)60;8i2 f1; ::; dgg d dPour toutu2R;on noteP(u), le vecteurxdeRdéni parx(i) =u(i)pour touti2 f1; ::; dg;où, pour   a2R; a=asia60eta= 0sinon. d 1. Vérierque pour tous vecteursu; vetwdeRet tout réelon a 2 (a)u >< u;=kuketv >< u;=< v;u > (b)v< u;+w >=v >< u;+ < v;w > 2 22 (c)ku+vk=kuk+kvk+ 2v >< u; d 2. Soitu2R:
(a) Montrerque pour toutv2;on akuP(u)k6kuvk: (b) MontrerqueP(u)est luniquew2tel quekuwk6kuvkpour toutv2:Comment peut-on interpréterP(u)géométriquement ?
3. Montrerque lon akuP(u)k6kuk: d d Soit(xn)n>1une suite devecteursdeR:On note, pour tout entiern>1; xnlélément deR, déni par
n X 1 xn=xk: n k=1 On suppose que la suite(kxnk)n>1est bornée et que pour toutn>1 < xnP(xn); xn+1P(xn)>60 (4) 2 Enn, on note pour toutn2N; wn=kxnP(xn)k: 4. Montrerque   2 n1 2 wn+16wn+kxn+1P(xn)k 2 n+ 1(n+ 1) 5. Montrerquelimwn= 0 n!+1 6. Onsuppose ici, que pour toutn2N; xn(1) +  +xn(d) = 0:Prouver alors, que pour touti2 f1; ::; dg; on alimxn(i) = 0 n!+1 TROISIEME PARTIE  d Soientd2Net(cn)n>1une suite à valeurs dansf1; ::; dg:On dénit pour toutn2N; vn2Rpar 1sicn=i vn(i) = 0sinon
d pouri2 f1; ::; dg:Soitp2R;dont toutes les coordonnées sont positives, et tel quep(1) +  +p(d) = 1:On dénit pour toutn2N; xn=vnp;et lon désigne, comme dans les parties précédentes, parxn, la moyenne arithmétique desxkpour16k6n:
d P 1. Montrerque pour toutn2N;on axn(i) = 0et quil existein2 f1; ::; dgtel quexn(i)60: i=1
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2. Montrerque lon peut choisir la suite(cn)n>1de telle sorte que pour toutn2N;on ait < xnP(xn); xn+1P(xn)>60 avecPdéni comme dans la deuxième partie. 3. Enutilisant les résultats de la partie précédente, montrer que pour toutn2Net pour touti2 f1; ::; dg; on a n X 1 limvk(i) =p(i) n n!+1 k=1 4. Endéduire quil existe une famille(Ai)16i6dde parties deux à deux disjointes deN;telles que pour tout i2 f1; ::; dg 1 limjf1; ::; ng \Aij=p(i); n n!+1 où pour tout ensemble niV;jVjdésigne le cardinal deV:
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