CCENS 2001 mathematiques lyon et cachan classe prepa mp

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J. 5108 LC 112 SESSION 2001 Filière MP MATHÉMATIQUES (Épreuve commune aux ENS : Lyon et Cachan) DURÉE : 4 heures Tournez la page S.V.P. -2- L’espace C” est considéré muni de sa structure hermitienne, c’est à dire du produit hermitien n = GYi c i=l et de la norme < 2, x >li2. Il4l = On note &In(C) l’espace des matrices n x n à coefficients dans C. On identifie A&(C) à l’espace On munit A&(C) de sa structure naturelle C(C?) des applications linéaires de Cn dans Cn. d’algèbre involutive, c’est à dire : - de sa structure de C-espace vectoriel, - du produit usuel des matrices, - de l’involution A H A* avec (A*)i,j = A,.i. On rappelle que A* comme opérateur sur Cn est caractérisé par = pour tous 5, y E Cn. On a alors, (A*)* = A et (AB)* = B*A*, pour toutes matrices A, B E h&(C). Une matrice A est dite auto-adjointe si elle vérifie A* = A. On rappelle que toute matrice auto-adjointe a ses valeurs propres réelles et se diagonalise dans une base orthonormée pour le produit hermitien. On rappelle enfin que la norme usuelle sur A&(C) est donnée par IllAlll = su~{llA~ll;~ E C”, 1141 = 1). 1. Normes 1) a) Calculez la norme d’une matrice A E A&(C) qui est diagonale dans la base canonique. b) Soit A E A&(C) et D = A*A. Montrez que toutes les valeurs propres de D sont positives. c) Montrez que pour tout A E A&(C) on a IIIAIII = m=bg’= L-.-m) pn sont les valeurs propres de D = A*A. OÙPI,..., d) Montrez que lllA*Alll = l(lA1jj2, ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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