CCENS 2001 mathematiques paris, lyon, cachan classe prepa pc

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ULC 121 J.5115 SESSION 2001 Filière Physique - Chimie MATHÉMATIQUES (Épreuve commune aux ENS : Ulm, Lyon et Cachan) Durée : 4 heures L’usage de calculatrices 6lectroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans documents d’accompagnement, est autorise. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun 6change n’est autorise entre les candidats. Tournez la page S.V.P. -2- Avertissement : Les labels Qn, avec 0 5 n 5 13 indiquent les questions, certaines d’entre elles étant découpées en sous-questions numérotées de 1 à j, avec j 5 5. Notations On désigne par R le corps des nombres réels. Le problème concerne l’étude des matrices carrées à coefficients réels, dont l’ensemble est noté M,(R). La matrice identité est notée 1,. On notera O(n) le groupe orthogonal et S(n) l’ensemble des matrices symétriques réelles à n lignes. Rappelons que O(n) est l’ensemble des matrices M de M,(R) qui satisfont tMM = Zn ou, ce qui revient au même, M ‘M = Z,. Si M E M,(R), on note PM le polynôme caractéristique de M, défini par PM(X) = det(XI, - M). On identifie canoniquement les vecteurs de R” aux matrices colonnes à n lignes. En particulier, Ml(R) est identifié à R. On dit que P, appartenant à M,(R), est une matrice de permutation s’il existe une n}, telle que P;I = 1 si i = a(j), pij = 0 sinon. permutation a de l’ensemble { 1, . . . , une matrice diagonale, 2 E R” un vecteur et a E R un nombre. On ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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