CCENS 2003 mathematiques classe prepa psi

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CX 3111 J. 4852 MATHÉMATIQUES DURÉE: 4 HEURES NOTATIONS ET DÉFINITIONS Dans tout le problème on considère des matrices carrées n x n à coefficients réels, et on note M, l'ensemble de ces matrices. Si '21 appartient à M,, m,, désignera son coefficient sur la lignc z et la colonne J. On dCfinit les sous-ensembles de M,, suivants : GL, = {Al E M,: det Al # O} O, = {ni E M,;~A~AI = n) où 1 est la matrice identité, n'ayant que des 1 sur la diagonale et nulle ailleurs, A, = {Ad E M,; tM = -Al}, l'ensemble des matrices antisymktriques, 'T?, = {Ar = (mtJ) E M,; ni,, = O si z < 3). l'cnse1nble des matrices triangulaires inférieures, et son sous-ensemble Ip, = {Al = (m,,) E T,;Vz, nx,% > O} . Une application hilinéaire C$ : E x E 4 F, où E et F sont deux espaces vectoriels, est dite alternée si, pour tout u E E, d(u,u) = O. Dérivation : si u est une fonction dérivable d'une variable réelle t7 on note ti(t0) sa dérivée en to. O. P RÉLIM IN AIRES On inuiiit M,, de la norme suivante (qu'on ne demande pas de justifier) oh I(zI/ = dx: + . .' + ~2, est la norme euclidienne de z. Soit B une matrice de M,. Montrer que la série O0 Bk expB=C- k! k=O cst convergente. Justifier que exp(-B) est l'inverse de exp B. En déduire que exp B appartient à GL,. hIontrer que l'application 4 : R -+ M,, t - exp(tB) est une fonction de classe C' et calculer sa dérivée. B commute avec exp(tB). Montrer que Tournez la page S.V.P. I. ÉQUATION DE LAX L'objectif est de résoudre ...
Publié le : mardi 5 juillet 2011
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