CCENS 2003 mathematiques paris, lyon, cachan classe prepa mp

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LC 312 J. 5019 SESSION 2003 Filière MP (groupes M/MP/MI) Épreuve commune aux ENS de Lyon et Cachan Filière MP (groupe I) Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan Filière PC (groupe I) Épreuve commune aux ENS de Paris et Lyon MATHÉMATIQUES Durée : 4 heures L’usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d’accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n’est autorisé entre les candidats. Tournez la page S.V.P. 66IntroductionSoit n un entier naturel non-nul. On noteM = M (C) l’espace vectoriel de dimensionn,n2n des matrices carr´ees n×n a coefficients dans le corps C des nombres complexes. Onnote C = M (C) l’espace vectoriel de dimension n des matrices colonne a` coefficientsn,1dans C, et L = M (C) l’espace vectoriel de dimension n des matrices ligne. Enfin, on1,nnoteR le sous-ensemble deM constitu´e des matrices de rang 1.1SiP etQsontdeux´el´ementsdugroupelin´eaireGL (C),onnoteϕ l’endomorphismen P,Qde l’espace vectorielM d´efini, pour A∈M, parϕ (A) =PAQ.P,QOn note T l’endomorphisme transposition deM, c’est-`a-dire l’endomorphisme deMtd´efini par T(A) = A pour A∈M. On note alorsG ={ϕ ;P,Q∈GL (C)},P,Q n0G ={T ◦ϕ ;P,Q∈GL (C)},P,Q net0G =G∪G.Premi`ere partieOn va montrer dans cette partie que les endomorphismes f de ...
Publié le : mardi 5 juillet 2011
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LC 312J. 5019SESSION 2003 Filière MP (groupes M/MP/MI) Épreuve commune aux ENS de Lyon et Cachan Filière MP (groupe I) Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan Filière PC (groupe I) Épreuve commune aux ENS de Paris et Lyon MATHÉMATIQUES Durée : 4 heures L’usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d’accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n’est autorisé entre les candidats. Tournez la page S.V.P.
Introduction
Soitnun entier naturel non-nul.On noteM=Mn,n(C) l’espace vectoriel de dimension 2 narr´eesatricescedmsn×na coefficients dans le corpsCOndes nombres complexes. noteC=Mn,1(C) l’espace vectoriel de dimensionnoeace`nnlocoesicamrtdsestneicdansC, etL=M1,n(C) l’espace vectoriel de dimensionnEnfin, ondes matrices ligne. noteR1le sous-ensemble deMcirtamsegnaredsecon1.u´edstit SiPetQeriilepae´ndutsougrulx´d´eeenntesmoGLn(C), on noteϕP,Ql’endomorphisme de l’espace vectorielMdruop,ine´A∈ M, par
ϕP,Q(A) =P AQ. On noteTl’endomorphisme transposition deM,esc`at-ir-ddeleednmorohpsiemM t d´eniparT(A) =ApourA∈ Mnote alors. On
et
G={ϕP,Q;P, QGLn(C)}, 0 G={TϕP,Q;P, QGLn(C)},
0 G=GG .
Premi`erepartie
On va montrer dans cette partie que les endomorphismesfde l’espace vectorielM, tels quef(R1)⊂ R1e´em´osnl,esetndseme´eltn´rptsiceG. 1)Montrer que sif∈ G, et siA∈ R1, alorsf(A)∈ R1.
2)nud´le´nemeedtertronMuqteuoetamrtcideerang1estproduitCrupaeln´me´ent deL.
0 00 0 3)SoientX, X∈ CetV, V∈ L. Onsuppose queXV+X Vest de rang1, et 0 queVetVdansdnepstnaitnee´dnean´emirsolintL. 0 00 00 3-a)Montrer qu’il existeY, Y∈ C, tels queV Y= 1,V Y= 0,V Y= 0 etV Y= 1. 0 3-b)Eequeudridne´XetXadsesntli´sonC.
4)SoientF, F1, F2trois sous-espaces vectoriels d’un espace vectorielEsuppose. On queFF1F2. MontrerqueFF1ouFF2.
5)SiX∈ C− {0}, on noteXL={XV;V∈ L},enoˆmme.DeonetCV={XV;XC}pourV∈ L − {0}. 5-a)esvectorus-espaclta`edosislaigMuqrertnosleiedM, de dimensionnet con-stitue´sdematricesderanginf´erieurou´egala`1. 5-b)SoitFun sous-espace vectoriel deM, de dimensionnu´edematricese,nocttits deranginfe´rieurou´egal`a1.MontrerqueFest soit de la formeXLpourX6= 0, soit de la formeCVpourV6= 0. 0 00 5-c)Calculer, pourX, X∈ C − {0}etV, V∈ L − {0}, les intersectionsXL ∩XL, 0 CV∩ CVetXL ∩ CV.
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Onsedonne,jusqu`alandecettepartie,unendomorphismefsur l’espace vectoriel M, tel quef(R1)⊂ R1. 6)Montrer que l’image parfd’un sous-espace vectoriel deM, de dimensionn, et constitue´dematricesderanginfe´rieuroue´gal`a1,estdumˆemetype. 7)On suppose qu’il existeX1, X2− {∈ C0}cnonniloiae´,serlsteequ,f(X1L) =Y1L etf(X2L) =Y2LavecY1, Y2∈ C − {0}. 7-a)Montrer qu’il existeQGLn(C), telle quef(X1V) =Y1V Qpour toutV∈ L. [Indication:d´enirQsur une base deL.] 7-b)Montrer quef(X1L)6=f(X2L). [Indicationpar l’absurde.]: raisonner 7-c)Montrer que pour toutV− {∈ L0},f(CV) est de la formeCUavecU∈ L− {0}.
7-d)Que dire def(XL) pourX∈ C − {0}? 7-e)Montrer que pour toutX∈ C −{0}, il existeY∈ C −{0}, telle que pour tout V∈ L, on ait
f(XV) =Y V Q pour la matriceQobtenue en 7-a). 7-f )Montrer quefG. 8)Conclure.
Deuxie`mepartie On va montrer qu’un endomorphisme d’espace vectorielfdeMire´vef(GLn(C))GLn(C) si, et seulement si, il est dansG. 1)Montrer que sif∈ G, et siAGLn(C), alorsf(A)GLn(C). 2)SoitA∈ M, de rangrn1. 2-a)Montrer qu’il existeMGLn(C), telle queMλAGLn(C) pour toutλC.   0Ir [Indication:oncommencerapartraiterlecasou`A.]est la matrice par blocs 0 0 2-b)Montrer qu’il existeNGLn(C), telle queNλAsoit non inversible pour exactementrvaleurs distinctes deλ. 3)Soitfun endomorphisme deM, tel quef(GLn(C))GLn(C). 3-a)Montrer que siAn’est pas inversible, alorsf(A) non plus. 3-b)Montrer que pourA∈ M, on a
rangf(A)rangA.
3-c)eduirequeEnd´flevrnarerpg.ese´ 3-d)Conclure.
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