CCENS 2004 mathematiques informatique paris et lyon classe prepa pc

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ULC 420 SESSION 2004 Filière MP (groupe 1) Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan Filière PC (groupe 1) Épreuve commune aux ENS de Paris et Lyon MATHÉMATIQUES = INFORMATIQUE Durée : 4 heures L’usage de toute calculatrice est interdit. Tournez la page S.V.P. Préliminaires Pour tout ensemble fini E de cardinal k, on note RE l’espace vectoriel de dimension k des fonctions de E vers R. On note ê l’élément de RE qui est la fonction qui à e associe 1, et à tout autre élément de E associe O. En particulier, tout élément a de RE s’écrit de façon unique CeEEaeê, pour une famille de coefficients (ae)eEE - à savoir a, = a(e) pour tout e E E. Les vecteurs ê, e E E forment la base canonique de RE. L’espace RE est muni d’un produit scalaire défini par pour lequel la base (ê)eEE est orthonormée. On note Ivl = On note O l’espace vectoriel de dimension O. Il est réduit à l’élément O. On rappelle aussi que le rang d’une application linéaire f : RE -+ RF est dim Im f = dim RE - dim Ker f = card E - dim Ker f. Si A et B sont deux matrices de même largeur, la matrice [ - ] est obtenue en plaçant toutes les lignes de A au-dessus de toutes les lignes de B. Une relation binaire sur un ensemble A est un sous-ensemble de A x A. Pour toute relation binaire -+ sur un ensemble A, on notera z -+ y si et seulement si (z,y) est dans -+. On notera d’autre part -+* la relation définie par z +* y si et seulement s’il existe un entier k 2 O, et k + 1 éléments 20, XI, x2, ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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