CCENS 2004 mathematiques paris et cachan classe prepa mp

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UC 413 SESSION 2004 Filière MP MATH É M ATI Q u ES Épreuve commune aux ENS de Paris et Cachan Durée : 4 heures L ’usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d’accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n’est autorisé entre les candidats. Tournez la page S.V.P. L’objectif de ce problème est d’étudier les propriétés de quelques espaces de fonctions périodiques et de quelques transformations opérant entre ces espaces. Dans tout l’énoncé, Cier désigne l’ensemble des fonctions continues périodiques sur IR, à valeurs dans C, de période 27r, et plus généralement pour tout s E N, C& est l’ensemble des fonctions s fois continument dérivables, de période 27r. Enfin CEr est l’ensemble des fonctions infiniment dérivables. Pour tout n E Z on définit sur R la fonction en par en(x) = einz. Pour une fonction + E Cie,, on définit pour tout n E Z, son n-ième coefficient de Fourier par On rappelle que pour de telles fonctions, r2= JO On utilisera également les deux résultats suivants: Résultat 1: Soit f(n,m) une application de Z2 vers C. Soit Si CnEZan converge alors Résultat 2: Soit f(x, n) une application continue par morceaux de [O, 2~] x Z vers C. On suppose que la série de fonctions CnEZ f(., n) converge sim- plement sur [O,~T] vers une fonction continue par morceaux notée f. On suppose que la série ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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