CCENS 2004 mathematiques paris, lyon, cachan classe prepa pc

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ULC 421 SESSION 2004 Filière PC MATHÉMATIQUES Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan Durée : 4 heures L ’usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d’accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n’est autorisé entre les candidats. Tournez la page S.V.P. Avertissement. On attachera la plus grande importance à la clarté et à la précision des démonstrations, ainsi qu’A la présentation des copies. Dans ce problème, IR désigne le corps des nombres réels et Q celui des nombres rationnels. L’ensemble des nombres entiers positifs est N. La partie entière d’un nombre réel positif x est l’entier naturel [XI ayant la propriété [XI 5 x < [XI + 1. Le problème décrit la représentation d’un nombre réel en fraction continuée, qu’on appelle aussi “fraction continue’). Pour cela, on introduit une notation : si ao, al, ..., a.N sont des nombres réels strictement positifs, et si O 5 n 5 II:, on note C’est un nombre réel positif. Par exemple, QI. Vérifiez les formules suivantes, pour 1 5 rn 5 n 5 N : et Convergentes d’une fraction continue Définissons les nombres pn et qn par récurrence (finie pour l’instant) : 1 Tournez la page S.V.P. et 40 = 1) 41 = al, qn = anqn-1 + qn-2- Les “convergentes” de la fract,ion continue F[ao, al, ..., a~] sont les fractions Pn/qn pour O 5 n 5 N. Q2. Montrer, au moyen ...
Publié le : mardi 5 juillet 2011
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