CCMP 2002 mathematiques i classe prepa mp

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A 2002 Math MP 1ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE,DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).CONCOURS D’ADMISSION 2002ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUESPREMIÈRE ÉPREUVEFilière MP(Durée de l’épreuve : 3 heures)(L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).Sujet mis à la disposition des concours :Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :MATHÉMATIQUES 1-Filière MP.Cet énoncé comporte 5 pages de texte.Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il lesignale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il estamené à prendre.Soit B la suite des réels définis par les relations suivantes :n nNnpB 1, B 1, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, B C B . n0 1 n1 pp0np pLes réels C sont les coefficients du binôme ; le nombre réel C , noté aussi , estn npégal au cardinal de l’ensemble des parties ayant p éléments d’un ensemble ayant n éléments.PREMIÈRE PARTIEI-1. Fonction E :Soit E la fonction définie sur la droite réelle R par la relation suivante :xeEx expexp x e .a. Démontrer que la fonction E est développable en série ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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A 2002 Math MP 1
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2002
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES PREMIÈRE ÉPREUVE Filière MP (Durée de lépreuve:3 heures) (Lusage dordinateur ou de calculette est interdit).
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES 1-Filière MP. Cet énoncé comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
oit s définis par les relations suivantes : SBn nla suite des réel N n p 1CnBp. B01,B11, pourtout entier naturelnsupérieur ou égal à 1,Bnp0
n p p Les réelsCnsont les coefficients du binôme ; le nombre réelCnestaussi ,, noté p égal au cardinal de l’ensemble des parties ayantpéléments d’un ensemble ayantnéléments.
PREMIÈRE PARTIE I-1.FonctionE: SoitEla fonction définie sur la droite réelleRpar la relation suivante : x e Exexpexpxe. a. Démontrer que la fonctionEest développable en série entière sur la droite réelleR.
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b. �tant donnun entier natureln, soitAnle rel gal la valeur de la driven-ime de la fonctionEen 0 : nAnE0. 0 Dmontrer, en admettant les conventions habituelles 00!1, la relation suivante : n k An. k! k0
c. �tablir, pour tout entier naturelnn0, une relation de rcurrence exprimantAn1en fonction deA0,A1,,An. En dduire l' expression suivante du relBnen fonction deAn: 1 BnAn. e
I-2.Comparaison de sommes infinies: suit ifsu0; on suppose que, pour tout entier Soitun1une ede rels strictement positn n n natureln, la srie de terme gnralukk,kest convergente. Soit1, 2, ...,Unsa somme : n Unukk. k1 a. Dmontrer que, pour tout entierpdonnsuprieur ou gal 1p1, lorsquel' entiern croît vers l'infini, le relUnest quivalent au reste d'ordrepde la srie dfini par la relation : n Rukk; c'est--dire : p,n kp n ier strictement positifp,UnRpukk. pour tout ent,n kp
etvb. �tant donnes deux suitesun1n nde rels strictement positifs n1 un0,vn0 ,dmontrer que, si les relsunetvnsont quivalents lorsque l'entierncroît vers l' infiniunvn, les deux suites de relsUn,n1, 2,etVn,n1, 2,dfinis par les relations suivantes :   n n Unukk,Vnvkk,   k1k1 sont quivalentes, lorsque l'entierncroît vers l'infini : UnVn.
I-3 Fonctionfn: �tant donnun entiernstrictement positifn1, soitfnla fonction dfinie sur la droite relleRpar la relation suivante : 0, six0, fnxxxn1/2 e x, six0.
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�tant donnun entiernstrictement positifn1, soitskle rel dfini par la relation suivante : skfnk. a. �tudier, pour un entierndonn, la convergence de la srie de terme gnralsk, k0, 1, 2,; soitSnla somme de cette srie : Snfnk. k0 b. Dmontrer, lorsque l'entiern:eavtnesuilencuival'q,inifni'lsrevtocr 1 Anfnk. 2k0
DEUXI�ME PARTIE �tant donnun relstrictement positif0, soitla fonction dfinie sur la demi-droite ouverte0,la relation suivante :, par xxlnxxlnx. II-1.tude de la fonction: a. Dterminer des quivalents dexdans des voisinages de 0 et de l' infini. b. Dterminer les variations de la fonction0,sur la demi-droite ouverte; tablir en particulier l'existence d'un relen lequel la fonctionatteint son maximum. c. Soitla fonction qui, au relle rel, associe. Dmontrer que cette fonction, dfinie sur la demi-droite0,continûment drivable., est Pour tous relsxetstrictement positifs, la relation ci-dessous, dans laquelle le relest l' imagepar la fonctiondu rel, estadmise : 1xxln1xxln1x.
II-2.Maximum de la fonctionfn: a. Dmontrer que, pour tout entiernstrictement positif, la fonctionfnadmet un maximum en un unique pointn. Est-ce que la fonctionfnest continûment drivable sur la droite relleR? b. �tablir les proprits suivantes vrifies par les relsnn1: i. En admettant les ingalits suivantes, 1 3 0 2 ln 2, 2 2 dmontrer que les relsn,n0, 1, 2,vrifient les encadrements suivants : 1122; pourtout entier suprieur ou gal 3 :nnn.
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ii. le r�elnentierest n�gligeable devant l'nentierlorsque l'ninfini :crot vers l' nonlorsquen. iii. pour tout r�elcompris strictement entre 0 et 1, le r�elnest n�gligeable devantn, lorsque l'entiernrctvoslernf'ii:in nonlorsquen.
TROISI�ME PARTIE tant donn�un entiernstrictement positifn1, soitgnla fonction d�finie sur la droite r�elleRpar la relation suivante : 1x gnxfnn1. fnnn III-1.Proprits de la fonctiongn: a. V�rifier, pour tout entiernstrictement positif et tout r�elx, la relation suivante : n fnxfnngnxn. n
b. Donner l'allure du graphe de la fonctiongn.
c. D�montrer que la suite de fgc onctionsn1onverge simplement vers une fonctiong; n expliciter cette fonctiong. d. D�montrer qu'il existe un entiern0tel que, pour tout entiernsup�rieur ou �gal n0 nn0et tout r�elxstrictement sup�rieur nxn, la fonctiongnv�rifie la majoration suivante : n xx gnxexp ln 1. 2n n
III-2:Une majoration de la fonctiongn: a. Soitula fonction d�finie par la relation suivante : 1 uxxln1x. 2 x D�montrer que cette fonction se prolonge en une fonction d�rivable sur la demi-droite ouverte1,; d�montrer que cette fonctionuest d�croissante sur cet intervalle. Pr�ciser son signe. b. En d�duire que, pour tout entiernentiersup�rieur ou �gal l'n0introduit la question III-1.d, la fonctiongn, d�finie sur la droite r�elle, v�rifie les majorations suivantes : 2 x1 gnxexp, six0 ;gnxexpxln1x, six0. 4 2
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QUATRI�ME PARTIE Recherche d'un �quivalent du r�elBnentierlorsque l'ncrot ind�finiment. IV-1.Intgrabilitde la fonctiongn: D�montrer que, pour tout entiernstrictement positif, la fonctiongnest int�grable sur la droite r�elle. SoitInla valeur de son int�grale : Ingnxdx. R D�montrer que la suite de r�elsInest convergente. Il est admis que la limite de cette n1 suite est �gale 2. IV-2.Un encadrement de la sommeSn: tant donn�un entiernstrictement positif, d'aprs la questionI-3.a, le r�elSnest la somme de la s�rie de terme g�n�ralfnk,k0, 1, 2,. D�terminer des r�elsKnetntels que la sommeSnsoit encadr�e de la manire suivante au moyen de l' int�graleIn: KnInnSnKnInn. Les r�elsKnetnseront explicit�s en fonction den,net de la fonctionfn. La suitentend vers 0. Indication: Soitp�gal la partie entire du r�ell' entiern; cet entier est d�fini par les in�galit�s ci-dessous : pnp1. D�terminer des encadrements des deux sommesSn´ etSn´´ d�finies par les relations suivantes : pSn´fnk;Sn´´fnk. k0kp1
IV-3.Un quivalent du relBn: D�duire des r�sultats pr�c�dents un �quivalent du r�elBnentierlorsque l'nfini.cortevsr'lni
FIN DU PROBLÈME
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