CCMP 2002 mathematiques i classe prepa pc

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A 2002 Math PC 1ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE,DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).CONCOURS D’ADMISSION 2002ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUESPREMIÈRE ÉPREUVEFilière PC(Durée de l’épreuve : 3 heures)(L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP.Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :MATHÉMATIQUES 1-Filière PC.Cet énoncé comporte 5 pages de texte.Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il lesignale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il estamené à prendre.Soit F la somme de la série entière réelle de terme général2nxu x ,n 0,1,2,...;n 2n!cette fonction F est définie par la relation suivante :2nxFx . 2n! n0Le but de ce problème est de rechercher une fonction équivalente à la fonction F à l’infini.Première partieI.1 Définition de la fonction F :Déterminer l’ensemble de définition de la fonction F. Étudier les variations de la fonction Fet la convexité de son graphe.- 1 / 5 -I.2 Encadrement de la fonction F :Soient v et w les suites réelles définies par les relations suivantes : n ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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A 2002 Math PC 1
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2002
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES PREMIÈRE ÉPREUVE Filière PC (Durée de lépreuve:3 heures) (Lusage dordinateur ou de calculette est interdit).
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES 1-Filière PC. Cet énoncé comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
SoitFla somme de la série entière réelle de terme général 2n x unx,n0, 1, 2, ...; 2 n!cette fonctionFest définie par la relation suivante : 2n x Fx. 2 n!n0 Le but de ce problème est de rechercher une fonction équivalente à la fonctionFà l’infini.
Première partie
I.1 Définition de la fonctionF: Déterminer l’ensemble de définition de la fonctionF. Étudier les variations de la fonctionF et la convexité de son graphe.
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I.2 Encadrement de la fonctionF: Soientvet essuites r�elles d�finies par les relations suivantes : n nNwnl nN 2 2   n!nn!n vn4 ;wn4 ;n0, 1, 2,,0!1. 2n! 2n1 ! a. D�montrer que la sst monotone croissante. En d�duire l'in�galit�suivante : uitevnne N n 1 4 ;n0, 1, 2,. 2 n!2n! En d�duire une majoration, sur la demi-droite ferm�e0,, de la fonctionFl' aidede la fonctionxch2x. b. D�montrer de même une minoration, sur la demi-droite ouverte0,, de la fonctionF l' aidede la fonctionxsh2x/2x. Pour tout r�elxstrictement positif, soitGxla moyenne g�om�trique des r�elsch2xet sh2x/2x. Soit0,la fonction d�finie, sur la demi-droite ouverte, par la relation suivante : 2x e x. x c. Comparer les deux fonctionsGetl' infini.
Deuxi�me partie
Dans la suite il sera utile de consid�rer la transformationLsuivante (dite de Laplace). À une fonctionfdonn�etft0,, d�finie et continue sur la demi-droite ouverte, int�grable sur tout intervalle semi-ouvert0,a, (aest un r�el positif quelconque), la transformationLassocie la fonctionLfqui, si elle existe, est d�finie par la relation suivante : x t Lfxfte dt. 0
II-1.Exemples:transformes de Laplace des fonctionsFet: a. Un r�sultat pr�liminaire : soitxun r�el strictement positif donn�x0; calculer pour tout entier naturelkkNint�grale, l'Iksuivante : kx t Ikdtt e. 0
x t b. D�montrer que la fonctiontFteest int�grable sur la demi-droite ferm�e0,ds que le r�elxest strictement sup�rieur 2x2. D�terminer la fonctionLFen calculant LFxau moyen de la somme d' une s�rie. x t LFxFte dt. 0
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c. Soitgla somme d'une s�rie entire d�finie par la relation suivante : 2n!2n t. gt2 n!n0 D�terminer l'intervalle ouvertR,Rde d�finition de la fonctiong. D�terminer au moyen de fonctions �l�mentaires l'expression degten utilisant par exemple le d�veloppement en s�rie entire de la fonction 1 u. 1u
d. En d�duire l'expression, pour tout r�elxsup�rieur strictement 2, de la transform�e de Laplace de la fonctionF. e. D�terminer, en pr�cisant son ensemble de d�finition, la transform�e de Laplace de la fonction, d�finiepourt0 par la relation suivante : 2t e t. t 2t Le r�sultat ci-contre est admis:e dt. 02
II-2.Une propri�t�de la transformation de Laplace: tant donn�e une fonctionf0,d�finie et continue sur la demi-droite ouverte, int�grable sur tout intervalle semi-ouvert0,a, (aest un r�el positif quelconque), soitIfl' ensembledes x t r�elsxpour lesquels la fonctiontfte0,est int�grable sur la demi-droite ouverte: x t Ifxtfte0,est int�grable sur.
a. D�montrer que si le r�elx0ensembleappartient l'If, alorsla demi-droite ferm�e x0,est contenue dansIf.
SoitEdes fonctionsl' ensemblef, consid�r�esensembleci-dessus, dont l'Ifni vide nin' est �gal toute la droite r�elleIf etIfR.
b. D�montrer que, pour toute fonctionfappartenant l'ensembleE, l'ensembleIfadmet une borne inf�rieuref: finfxxIf. En d�duire que l' ensembleIfest la demi-droite ouvertef,ou la demi-droite ferm�ef,.
c. D�montrer que, pour toute fonctionfappartenant E, la fonctionxLfxest continue sur la demi-droite ouvertef,. D�montrer que, si la fonctionfest positive, la fonctionLfest d�croissante ; en d�duire que, sifappartient If, la fonctionLfest born�e sur la demi-droite ferm�ef,.
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d. Soitgensembleune fonction positive appartenant �l'E, dont la transforme de Laplace Lgest borne sur la demi-droite ouverteg,. Dmontrer les proprits suivantes : i/ il existe une constante positiveM, telle que, pour tout relxstrictement suprieur �gxget tout rel positifA: A x t gte dtM. 0 ii/ En dduire que la transforme de Laplace de la fonctiongest dfinie sur la demi-droite fermeg,. II-3.Comparaison des transform�es de Laplace de deux fonctions �quivalentes: Soientgethdeux fonctions, positives, appartenant �l' espaceE. Ces deux fonctions sont supposes croître vers l' infini lorsque le relttend vers l' infini et être quivalentes �l' infini gh. a. Dmontrer que les deux relsgethsont gaux. b. Icihn' appartientpas �Ih. Quelle conclusion y-a-t-il lieu d'en tirer surLhxlorsque le relxtend versh(par valeurs suprieures) ? Dmontrer que, pour tout rel positif , il existe un relAtel que, pourtsuprieur �A, il vienne l'ingalit: |gtht||ht|. 2 En dduire l' ingalitci-dessous, pour tout relxappartenant �la demi-droite ouverte h,, Ax tx t |LgxLhx||gtht|e dt|ht|e dt. 02A Dmontrer que les deux fonctionsLgLhsont quivalentes lorsque le relxtend vers h. II-4.Une conjecture: Comparer les transformes de Laplace des fonctionsFet. Est-il possible de proposer un quivalent �la fonctionF�l' infini?
Troisime partie Le but de cette partie est d'tablir le rsultat suggrpar la question II-4. III-1.Fonction k: Dans cette question,xest un rel fixstrictement positif. Soitk:tktla fonction dfinie par la relation suivante : n xi n t kte. n! n0 a. Dmontrer que, pour tout relxfix, la fonctionk:tktest dfinie et continue sur la droite relleR, priodique et de priode 2.
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En d�duire la valeur de l' int�graleJci-dessous au moyen du r�elFx. 22 J|kt|dt. 0
2 b. Calculerkt. En d�duire une expression de |kt| . c. En d�duire l'expression deFxau moyen de l' int�graleexp 2xcost dt. 0 III-2.Trois fonctions auxiliaires: tant donn�un r�elxstrictement positif, soienth1,h2eth3les trois fonctions suivantes : expx t /2 1 h1xexpxcost dt;h2xdt; 1t 0 0 1 h3xexpx t1t dt. 0 a. Justifier l'existence de ces trois int�grales. b. En effectuant d'abord le changement de variableu1tdans l' int�grale servant  calculerh2x, d�terminerun �quivalent deh2xlorsque le r�elxtend vers l' infini. c. D�terminer de même un �quivalent deh3xlorsque le r�elxtend vers l' infini. u Le r�sultat ci-contre est admis :due u. 02
d. tablir la propri�t�suivante : il existe une constanteCtelle que, pour tout r�elude l' intervallesemi-ouvert0, 1, la relation ci-dessous soit vraie : 1 1  C1u. 2 1u21u
e. D�duire des r�sultats pr�c�dents un �quivalent deh1xl' infini.
III-3 �quivalent de la fonctionFà l'infini: D�duire des r�sultats pr�c�dents un �quivalent de la fonctionFl' infini.
FIN DU PROBLÈME
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