CCMP 2002 mathematiques i classe prepa psi

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A 2002 PSI 1ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE,DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).CONCOURS D’ADMISSION 2002ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUESPREMIÈRE ÉPREUVEFilière PSI(Durée de l’épreuve : 3 heures)(L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP.Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :MATHÉMATIQUES 1-Filière PSI.Cet énoncé comporte 4 pages de texte.Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il lesignale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il estamené à prendre.Étant donnée une fonction f réelle, définie sur le segment 0,1, indéfiniment dérivable, soitu la suite réelle définie par les relations suivantes :n nNn1 1 1 1U) u 1 ; pour tout entier n strictement positif, u f f f ... f .0 n nk 1 2k1nSoit R le rayon de convergence de la série entière de terme général u x , n 0,1,2,. SoitnF la somme de cette série entière ; son ensemble de définition est l’ensemble des points enlesquels la série entière est convergente. Elle est définie par la relation suivante :nFx u x . nn0Première ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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A 2002 PSI 1 ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D’ADMISSION 2002 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES PREMIÈRE ÉPREUVE Filière PSI (Durée de lépreuve:3 heures) (Lusage dordinateur ou de calculette est interdit). Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES 1-Filière PSI.
Cet énoncé comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Étant donnée une fonctionfréelle, définie sur le segment0, 1, indéfiniment dérivable, soit la suiar les relations suivantes : unNte réelle définie p n n 1 11 1 U)u01 ; pour tout entiernstrictement positif,unff f...f. n k1 2 k1 n SoitRle rayon de convergence de la série entière de terme généralunx,n0, 1, 2,. Soit Fla somme de cette série entière ; son ensemble de définition est l’ensemble des points en lesquels la série entière est convergente. Elle est définie par la relation suivante : n Fxunx. n0
Première partie I-1.Rayon de convergence: a. Exemples : étant donnés un réeldifférent de 00et un entier naturelpdifférent de 0p1, déterminer les rayons de convergence et les sommesF1,F2etF3des séries entières n de terme généralunx, lorsque la fonctionfest successivement définie par l’une des trois relations suivantes : f1t;f2tt;f3tp t1. Préciser les ensembles de définition des trois fonctionsF1,F2etF3; pour déterminer la n fonctionF3, exprimer le coefficientunpournp1 au moyen du coefficient du binômeCp1
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p1 �gal . n b. D�terminer, pour une fonctionfr�elle, d�finie sur le segment0, 1, ind�finiment n d�rivable, le rayon de convergence de la s�rie entire de terme g�n�ralunx.
Dans la suite du problme, les fonctions ind�finiment d�rivablesfconsid�r�es prennent des valeurs diff�rentes de 0 en tout point d' abscisse 1/nnest un entier strictement positif (pour tout entiernstrictement positiff1/n0).
I-2 Suite de terme g�n�ralun: a. D�montrer que, si la fonctionfprend une valeur en 0 strictement positivef00, il existe un rangNtel que, pour tout entiernsup�rieur ou �gal N, le r�elunsoit de signe constant.
b. tudier la conveda xcas suivants : rgence de la suiteunNns les deu n i. le r�el |f0| appartient l' intervalle semi-ouvert0, 1 0|f0|1,
ii. le r�el |f0| est strictement sup�rieur 1|f0|1.
Dans toute la suite du problme, la fonctionfprend la valeur 1 en 0f01et des valeurs strictement positives sur le segment0, 1.
I-3.S�rie de terme g�n�ralun: Soitla valeur prise par la fonction d�riv�ef´ en 0 : f´0. Soitvite d�finie par les relations suivantes : n nNla su un v01 ;pour tout entiernsup�rieur ou �gal 1 :vn. n Dans le cas particulier oùest nul :vnun. tudier la convergence de la s�rie dont le terme g�n�ralwn,n1, 2,, estd�fini par la relation : vn pour tout entiernsup�rieur ou �gal 1 :wnln . vn1 En d�duire l' existence d' une constanteL, diff�rente de 0, telle queunsoit �quivalent  l' infiniL n. unL n.
I-4.FonctionF: a. Soitfune fonction r�elle, d�finie sur le segment0, 1, strictement positive, ind�finiment d�rivable, prenant la valeur 1 en 0 ; d�terminer l'ensemble de d�finitionDFde la fonctionF, n c' est--direl' ensembledes r�els pour lesquels la s�rie de terme g�n�ralunxest convergente ;
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les coefficientsunsont d�finis par la relation (U) de la premire page.
b. Exemple : �tant donn�un r�elun entier naturel, soitdiff�rent d'fla fonction d�finie sur l' intervalle0, 1par la relation suivante : ft1t. n SoitFla fonction �gale la somme de la s�rie entire de terme g�n�ralunx; les coefficientsunsont d�finis par la relation (Uexpression de). crire l'Fxunecomme somme d' s�rie entire ; pr�ciser son rayon de convergence. Reconnaître la fonctionF.
Deuxi�me partie Soitun r�el strictement compris entre 0 et 101; soitfla fonction d�finie sur le segment0, 1par la relation suivante : 2 2 ft1t. C' estun exemple de fonctionfdont la d�riv�e est nulle en 0fÂ00 .Soitgla fonction d�finie sur l'intervalle ouvert1, 1par les relations suivantes : cosx1 g00 ;pour toutxv�rifiant 0|x|1,gx. sinxx
II-1.Proprits de la fonctiong: a. D�montrer que la fonctiong, d�finie par les relations ci-dessus, est continue sur l' intervalleouvert1, 1. Calculer pour tout r�elintervalle ouvert, appartenant l'1, 1, l' int�graleId�finie par la relation ci-dessous : Igtdt. 0 b. Soithla fonction complexe, p�riodique de p�riode 2, d�finie sur l'intervalle semi-ouvert 0, 2par la relation suivante : it pour tout r�eltv�rifiant les in�galit�s 0t2,hte. D�terminer le d�veloppement en s�rie de Fourier de la fonctionh; pr�ciser la convergence de la s�rie obtenue. En d�duire la relation : 21 g2 2. n n1
c. En d�duire une expression de l'int�graleIalin�a a, au moyen de la somme, consid�r�e l' d' unes�rie.
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II-2.Convergence de la suiteunN: n D�montrer que la suiteund�finie partir de la fonctionfgrâce aux relations (U) est nN convergente et d�terminer sa limite.
Troisi�me partie Le but de cette partie est d'utiliser les r�sultats de la deuxime partie pour �tablir des propri�t�s de la fonctionGd�finie sur la demi-droite ouverte0,par la relation : x1t x1t Gxt edtt edt. 0 0,tant donn�un entiernsup�rieur ou �gal 1n1, soitnla fonction d�finie sur le quart de plan0,0,par la relation suivante : n x1t nx,tt1, si0tn;nx,t0, sitn. n SoitGnla fonction d�finie sur la demi-droite ouverte0,par la relation suivante : n Gnxnx,t dtnx,t dt. 0 0,n
III-1.Existence des fonctionsGnetG: D�montrer que les deux fonctionsGnetGsont d�finies et continues sur la demi-droite ouverte0,. D�montrer que la suite des fonctionsGn,n1, 2,simplement, sur, converge la demi-droite ouverte0,, vers la fonctionG. III-2.Une expression deGnx: a. tant donn�s un entier naturelnet un r�elxstrictement positifx0, soitJnxl' int�graled�finie par la relation suivante : 1 n x1n x1 Jnx1tt dt1tt dt. 0 0,1 Calculer cette int�grale. b. En d�duire, pour tout entiernsup�rieur ou �gal 1 et tout r�elxstrictement positif, une expression deGnx. III-3.Relation des complments: D�montrer, pour tout r�elxstrictement compris entre 0 et 10x1, la relation suivante : GxG1x. sinx
FIN DU PROBLÈME
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