CCMP 2002 mathematiques ii classe prepa mp

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A 2002 Math MP 2ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE,DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).CONCOURS D’ADMISSION 2002ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUESDEUXIÈME ÉPREUVEFilière MP(Durée de l’épreuve : 4 heures)(L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).Sujet mis à la disposition des concours :Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :MATHÉMATIQUES 2-Filière MP.Cet énoncé comporte 7 pages de texte.Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il lesignale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il estamené à prendre.Il est conseillé aux Candidats de lire le problème en entier. Les deuxième et quatrièmeparties peuvent être abordées indépendamment des parties précédentes.Le crible d’Ératosthène donne un algorithme qui permet de savoir si un entier est premier ounon. Il est par suite possible d’indexer la suite des nombres premiers p , i 1,2, :ip 2, p 3, p 5, ...1 2 3Dans tout le problème la lettre p est réservée aux nombres premiers. Étant donné un réel x,sa partie entière x est l’entier n qui vérifie la double inégalité suivante : ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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A 2002 Math MP 2
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2002
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ÉPREUVE Filière MP (Durée de lépreuve:4 heures) (Lusage dordinateur ou de calculette est interdit).
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES 2-Filière MP.
Cet énoncé comporte 7 pages de texte. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Il est conseillé aux Candidats de lire le problème en entier. Les deuxième et quatrième parties peuvent être abordées indépendamment des parties précédentes.
Le crible d’Ératosthène donne un algorithme qui permet de savoir si un entier est premier ou non. Il est par suite possible d’indexer la suite des nombres premierspi,i1, 2,: p12,p23,p35, ... Dans tout le problème la lettrepest réservée aux nombres premiers. Étant donné un réelx, sa partie entièrexest l’entiernqui vérifie la double inégalité suivante : xnxn1. Étant donné un réelx, supérieur ou égal à 2,x2, il existe un entierNégal au rang du plus grand nombre premierpNinférieur ou égal àx pNsupppx
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Première partie
Le but de cette partie est de d�montrer que la suite des nombres premiers est illimit�e et d' �tudierla nature de la s�rie de terme g�n�ral 1/pi,i1, 2,.
I-1.La suite des nombres premiers est illimit�e: D�montrer que la suite des nombres premiers est illimit�e en consid�rant, par exemple, pour nnombres premiersp1,p,pndonn�s, l'entierQd�fini partir de cesnnombres premiers 2, par la relation suivante : n Q p1.p2..pn1pi1.  i1
Dans toute la suitenest un entier sup�rieur ou �gal 2n2,sun r�el donn�strictement positifs0
I-2.EnsembleMn: a. Justifier la relation suivante :
1 1 1 1s. n k s n k0
b. Soientaetbdeux entiers, diff�rents l' un de l' autre, tous les deux sup�rieurs ou �gaux 2 (ab,a2,b2) ; d�montrer que la s�rie double de terme g�n�ralu,i0, 1, 2,, i j j0, 1, 2,, d�finipar la relation suivante 1 u,i0, 1, 2,,j0, 1, 2,. i j i sj s a.b est sommable. D�terminer sa sommeS. Soientp1,p,pnlesnpremiers nombres premiers,Mndes r�els obtenus enl' ensemble 2, s ss consid�rant tous les produits des r�elsp1,p2,,pn�lev�s des exposantsi, 1inpositifs ou nuls., entiers   s1s2sn Mnmmp1.p2..pn,iN.
 s1s2snn c. D�montrer que l'application1,2, ...,n p1.p2..pn, deNdans Mnindexer les r�elsil est possible d', estinjective. En d�duire qu'mdans l' ordre croissant : l' applicationimiest strictement croissante deNsurMn. Exemples :de la suit�crire la suite des 12 premiers termesemi iNlorsque le r�elsest �gal 1 et l' entiern�gal 2 puis 3.
Il est admis que la s�rie de terme g�n�ralvi1/mi,iN, estconvergente ; sa somme est 1 d�sign�e par le symbole :malin�a b, le r�sultat plus g�n�ral. Comme le laisse pr�sager l' mMn ci-dessous est vrai et est admis : n1 1 11 1s .   m mi pii1mMni1
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Soitfnla fonction d�finie sur la demi-droite ouverte0,par la relation suivante : n 1 1 fns1s. pii1
SoitNle rang du plus grand nombre premier inf�rieur nNsupipin. d. D�montrer l'in�galit�suivante : n N 1 1 1 s1s. kpik1i1 Retrouver, en donnant une valeur particulire au r�els, le r�sultat : la suite des entiers premiers est illimit�e. D�terminer, en supposant le r�elsinf�rieur ou �gal 10s1entier, la limite, lorsque l' ntend vers l' infini, de l' expressionfnsintroduite ci-dessus. Il est admis, puisque la suite des nombres premiers est illimit�e, qu'tout r�elxsup�rieur ou �gal 2x2, peuttre associ�un entierNtel que le r�elxsoit encadr�par les nombres premierspNetpN1: pNxpN1.
e. tablir, lorsque le r�elsest strictement sup�rieur 1s1encadrement ci-dessous :, l' n N1 1 11 s1s.  s kpik k1i1k1 En d�duire, poursexpression1, la limite de l'fnsentierintroduite ci-dessus lorsque l'n tend vers l' infini. I-3.S�rie de terme g�n�ral1/pi,i:1, 2, ... D�duire des r�sultats ci-dessus la nature de la s�rie de terme g�n�ralvi,id�fini1, 2, ..., par la relation suivante. 1 viln 1. pi En d�duire la nature de la s�rie de terme g�n�ral : 1 wi,i1, 2, .... pi Quelle conclusion qualitative est-il possible d'en tirer sur la r�partition des nombres premiers ? I-4.Fonction: Soitla fonction limite de la suitefn. D�montrer que cette fonction, d�finie d'aprs la question I-2.e sur la demi-droite ouverte1,par la relation ci-dessous,est continûment d�rivable. N1 1 1 slimss  1. Npik i1k1
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Deuxième partie Le but de cette partie est d'�tablir une majoration du produit des nombres entiers premiers inf�rieurs ou �gaux un entier donn�nencadrer le plus petit commun multiple de tous leset d' entiers inf�rieurs ou �gaux cet entiern. Soit toujoursnun entier sup�rieur ou �gal 2n2,Nle rang du plus grand nombre premier inf�rieur ou �gal n; soitPnle produit des nombres premiers inf�rieurs ou �gaux n: N pNn pN1,Pnpi. i1
II-1.Majoration duproduitPndes nombres premiers major�s par un entiern: a. Construire un tableau donnant pour les valeurs 2, 3, 4 et 5 de l'entiernles valeurs de n N,pN,Pn, 4 . n b. V�rifier que, si l'entiern1 n' est pas premier, l' in�galit�Pn4 impliquel' in�galit� n1 Pn14 . c. L'entiern1 est premier dans cet alin�a ; justifier l' existence d' un entiermtel que : 2m1n1. D�montrer que tout nombre premierpcompris entrem2 etn1m2pn1m divise le coefficient du binômeC. tablir la majoration suivante : 2m1 m m C4 . 2m1 m1n1 En d�duire que l' in�galit�Pm14 impliquel' in�galit�Pn14 . d. En d�duire, pour tout entiernmajoration :2, la N n Pnpi4 . i1
Soitdnle plus petit commun multiple de tous les entiers 1,2, 3,...,n. II-2.Une expression du p.p.c.m.dn: D�montrer que le p. p. c. m.dnest �gal au produit des nombres premierspi, inf�rieurs ou �gaux l' entiern, �lev�s des puissancesi�gales aux parties entires du rapport lnnsur lnpi; c' est--dire: N lnn i pNnpN1,dnpi, avec:i. lnpi i1
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II-3.Une minoration du p.p.c.m.d: 2n1 �tant donnun entiernsuprieur ou gal 2n2, soitIndfinie par lal' intgrale relation suivante : 1 n n Inx1xdx. 0 a. Dmontrer la majoration : 1 In. n 4
b. Dmontrer que le p. p. c. m.dest divisible par tout entiernkl' entier1, lorsquek 2n1 varie de 0 n0e le produitd kn. En dduire qu2n.Inest un entier en considrant, par 1 n exemple, une expression deInobtenue par dveloppement de1x.
Dmontrer, l'aide de la majoration de l'intgraleInminoration du p. p. c. m., uned. 2n1
Troisième partie Le but de cette partie est d'tudier les deux fonctionsetdfinies ci-dessous pour en dduire un encadrement l'infini du relx. Pour tout relxsuprieur ou gal 2x2,xest gal au nombre des nombres premiers infrieurs ou gaux au relx. N pNxpN1,xN1. i1 Pour tout relxsuprieur ou gal 2x2,xest gal la somme des logarithmes des nombres premiers infrieurs ou gaux au relx. N xpN1,xlnpi. pNi1 Plus gnralement : tant donne une suite relleAak, soitHAla fonction dfinie sur k1 la demi-droite ferme1,, par la relation suivante : HAxest nul sur l'gal, pourintervalle 1,2 ,x2, la somme des termes de la suiteA dont les rangs sont infrieurs ou gaux au rangNdu plus grand nombre entier premier infrieur ou gal x: 0, si1x2, N HAxak2, sixetpNxpN1. k1
III-1.Un r�sultat auxiliaire: r une suiteAaiPrciser, pouidonne, sur quels intervalles la fonctionHAest continue. 1 Quels sont ses points de discontinuit? Prciser en ces pointsxla valeur deHAxHAx0.
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Soitf2,une fonction r�elle, d�finie et continûment d�rivable sur la demi-droite ferm�e, et une suite r�elleAai; d�montrer la relation suivante : pour tout r�elxcompris entrepN i1 etpN1,pNxpN1il vient : N x aifpiHAxfxHAtf´tdt. 2 i1
III-2.Une majoration de la fonction: a. D�montrer la majoration suivante de la fonction: xxln 4.
b. tablir en choisissant, dans la relation �tablie la question pr�c�dente, comme suiteA, la suite lnpk,ket comme fonction1, 2, ...,f, lafonctionx1/ lnxin�galit�suivante :, l' x x dt xln 4. 2 lnx2 lnt
c. D�montrer la convergence vers 0, lorsque le r�elxinfini, de la fonctioncroît vers l'Rxsuivante : x lnx dt Rx.. x2 lnt2 Indication : introduire, pourx4 , les int�grales de 2 xet dexx.
d. En d�duire l'existence d'un r�elx0tel que, pour tout r�elxsup�rieur ou �gal x0, la fonctionv�rifie la majoration suivante : x x4 ln2 . lnx
III-3.Une minoration de la fonction: En utilisant par exemple la minoration du p. p. c. m.dobtenue la question II-3, 2n1 d�montrer qu'il existe un r�elx1tel que, pour tout r�elxsup�rieur ou �gal x1, la fonctionv�rifie la minoration suivante : ln 2x x. 2 lnx
Ces deux r�sultats sont coh�rents avec le flth�orme des nombres premiersfl�tabli par Hadamard et de La Vall�e Poussin en 1896, qui affirme que la fonctionest �quivalente  l' infinila fonctionxx/ lnx.
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Quatrième partie
Soit, dans toute cette partie, un entierndonn�n2. L'anneauZ/nZest l'ensemble quotient de l'anneauZdeux entiers relatifs sont �quivalents si�quivalence : ºpar la relation d' leur diff�rence est divisible par l'entiernº .Classiquement un �l�ment deZ/nZ, uneclasse d' �quivalence,est not�ea,a�tant un repr�sentant de cette classe. Soitla fonction qui, l'entiern, associe le nombre d'�l�ments inversibles deZ/nZ.
IV-1.Th�orème d'Euler: a. D�montrer que, pour que l'�l�mentadeZ/nZsoit inversible, il faut et il suffit que l'entier asoit premier avecn. Donner les valeurs denentierlorsque l'nprend toute valeur de 2 7. b. D�montrer que l'ensembleZ/nZdes �l�ments deZ/nZinversibles est un groupe multiplicatif. Quel est son cardinal ? Soitaun entier compris entre 0 etn10an1, premier avecn. Soitnle nombre d'�l�ments deZ/nZinversibles. D�montrer la relation : na1,n. Indication : consid�rer l' application:bb.adeZ/nZdans lui-mme puis l' expressioncd�finie par la relation suivante : cb.a. bZ/nZ
311 c. Application : d�terminer le reste de la division de 251par 6. IV-2.Principe de cryptographie: Soitnun entiern2�gal au produit de deux nombres premierspetq;np.q. a. D�montrer la relation : np1 q1.
Soiteun nombre entier premier avecp1 q1. b. tablir l'existence d'un entierdtel que : e.d1,p1 q1. e.d Exemple simple :n6,e5 ; calculer, pour tout �l�mentadeZ/6Z,a. c. D�montrer pour tout �l�mentadeZ/nZ, la relation : e.d aa,n.
En fait l' entiereentierexp�diteur, l'est connu de l'ddu destinataire. L' entierdest trs difficile calculer si la factorisation de l'entiernn' estpas connue (les entierspetqsont grands). e Chiffrement du messageapar l'exp�diteur :aa; d�chiffrement par le destinataire : e ed a a. Le message est retrouv�.
FIN DU PROBLÈME
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