CCMP 2002 mathematiques ii classe prepa pc

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A 2002 Math PC 2ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE,DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).CONCOURS D’ADMISSION 2002ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUESDEUXIÈME ÉPREUVEFilière PC(Durée de l’épreuve : 3 heures)(L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP.Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :MATHÉMATIQUES 2-Filière PC.Cet énoncé comporte 6 pages de texte.Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il lesignale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il estamené à prendre.Dans tout le problème, I est le segment 0,1, f est une fonction réelle définie et continue surle segment I, p est une fonction définie et continue sur le segment I, positive (pour tout réel x deI, px 0).L’objet du problème est l’étude et l’approximation des solutions réelles, définies sur le2segment I, deux fois continûment dérivables (de classe C ) des équations différentiellessuivantes :E u´´x px ux 0,0E u´´x px ux fx.vérifiant, en outre, les conditions suivantes aux extrémités du segment I :C u0 0, u1 0.2Une ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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A 2002 Math PC 2
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2002
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ÉPREUVE Filière PC (Durée de lépreuve:3 heures) (Lusage dordinateur ou de calculette est interdit).
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES 2-Filière PC.
Cet énoncé comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Dans tout le problème,Iest le segment0, 1,fest une fonction réelle définie et continue sur le segmentI,pest une fonction définie et continue sur le segmentI(pour tout réel, positivexde I,px0). L’objet du problème est l’étude et l’approximation des solutions réelles, définies sur le 2 segmentIfois continûment dérivables (de classe, deuxC) des équations différentielles suivantes : E0u´´xpxux0,
Eu´´xpxuxfx. vérifiant, en outre, les conditions suivantes aux extrémités du segmentI: Cu00,u10. 2 Une fonctionu, de classeC, définie sur le segmentI, vérifiantles conditionsC, est dite solution du problèmeP0si elle est solution de l’équation différentielleE0, respectivement solution du problèmePsi elle est solution de l’équation différentielleE.
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Première partie Exemples, r�sultats g�n�raux. I-1.Exemples: D�terminer toutes les solutions de l'�quation diff�rentielleEv�rifiant les conditionsCdans les deux cas suivants : a. La fonctionpest nulle et la fonctionfconstante et �gale 1 : px0,fx1.
x b. La fonctionpest constante et �gale 1 ; la fonctionfest la fonctionxeest un r�el donn�: x px1,fxe.
I-2.Unicit�des solutions: a. Soituune fonction solution de l'�quationE0v�rifiant les conditionsC; d�montrer que cette solutionuv�rifie la relation : 1 2 2 uÂxpxuxdx0. 0 En d�duire que la seule solution du problmeP0est la solution nulle. b. D�montrer que, pour des fonctionspetfdonn�es, il existe, au plus, une solution du problmeP. I-3.Existence d'une solution: a. tant donn�es deux fonctionsu1etu2solutions de l' �quation diff�rentielleE0, soitgla fonction d�finie sur l' intervalleIpar la relation suivante : gxu10u2xu20u1x. D�montrer que, si la fonctiongau point 1s' annulleg10, la fonctiongest nulle sur l' intervalleI. En d�duire une condition n�cessaire et suffisante sur les deux solutionsu1etu2pour que la fonctiongne s'annulle pas en 1g10. Soientu1etu2deux solutions de l' �quation diff�rentielleE0,vune solution de l'�quationE etetdeux scalaires. SoituetXla fonction et le vecteur d�finis par les relations suivantes : uxu1xu2xvx;X. b. D�montrer que, pour que la fonctionusoit solution du problmeP, il faut et il suffit que le vecteurXv�rifie la relation matricielle suivante : U.XB, Uordre 2 etest une matrice carr�e d'Bun vecteur qui seront pr�cis�s. c. D�montrer que le problmePadmet une solution unique.
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Deuxième partie Quelques propri�t�s de certaines matrices deMnR. nIl est admis que l'application de l' espaceRdansR:  X sup |x|, Xxi1in i i1,2,...,n est une norme. Il est admis que l'application de l' espace des matrices carr�es d' ordren, MnRdansR: ANAsupA.X, X1 n Rest dites coordonn�esxsont est une norme. Un vecteurXxi1ide positifsi toutes si n positives ou nullesxi0. Cette propri�t�s'�crit : X0. Une matriceAadeMnRest dite positive si tous ses termesasont i ji j 1in, 1jn positifs ou nuls. Cette propri�t�s' �crit : A0. n tant donn�e la base canonique deR,e1,e2,,en, soitEle vecteur dont toutes les 1 1 coordonn�es sont �gales 1 :E. 1 II-1.Quelques propri�t�s matricielles: SoitAaune matrice carr�e deMnR: i j 1in, 1jn a aa 1 11 21n a aa 2 12 22n A.    a aa n1n2n n a. D�montrer que, pour que cette matriceAsoit positive, il faut et il suffit que le vecteur n image de tout vecteur de la base canonique deRsoit positif.
n b. tablir la propri�t�: pour tout vecteurXdeR,
A.XNAX.
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c. D�montrer, pour une matriceApositive, la relation : n NAsai j up . 1in j1 Comparer les deux expressionsNAetA.E; en d�duire la norme de la matriceA. d. SoitAune matrice deMnRposs�dant la propri�t�suivante : chaque fois qu'un vecteurX n deRa une image positive (A.X0), le vecteurXest positif (X0). D�montrer que la matrice 1 Aest injective puis qu'elle est inversible et que son inverseAest une matrice positive.
II-2.Un exemple: SoientAetHles deux matrices carr�es d' ordrensuivantes : Les termes de la matriceAsitu�s sur la diagonale principale sont �gaux 2, ceux situ�s juste au dessus et juste au dessous 1, les autres sont nuls. La matriceHest diagonale et positive ; les termeshi, 1in, dela diagonale principale sont positifs ou nulshi0: 21 00h10 00 1 210 0h200 A01 20 ;H0 0h30 .          0 0 02 00 0hn
n a. SoitXun vecteur deRde coordonn�esxi,i1, 2,,nque le vecteur, telAH.X soit positif. D�montrer que le vecteurXun raisonnement par l' absurde, par exemple,aide d'est positif l' en compl�tant lasuitexi1inpar des termesx0etxn1nulsx0xn10, eten consid�rant l' entierkpour lequel le r�elxkest �gal au plus petit des r�elsxi, 0in1 : xkminxi. 0in1
b. D�duire du r�sultat pr�c�dent que les deux matricesAHetAsont inversibles. 1 II-3.Norme de la matriceAH: SoitVetWles deux vecteurs d�finis par les relations suivantes : 11 VAHE,WA E. a. D�montrer que ces vecteurs sont positifs ainsi que le vecteurAWV. n b. Comparer les normes des deux vecteursVetW; en d�duire : pour tout vecteurXdeR, 1 AH.XW X.
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II.4.Une majoration de la norme du vecteurW: SoitSdes suites r�elles infiniel' ensemble sxk0v�rifiant, pourk0, la relation de k r�currence suivante : xk12xkxk11.  SoitS0l' ensembledes suites r�ellesxkv�rifiant, pourk0, la relation de r�currence k0 suivante : xk12xkxk10.
a. D�terminer les suites qui appartiennent l'espaceS0.
b. D�terminer une suiteykespaceappartenant l'Squi soit un monome du deuxime k0 degr�:
2 yka k.
c. D�terminer les suites qui appartiennent l'espaceS; en particulier celles qui v�rifient les deux conditions suivantes : x00,xn10.
1 d. D�terminer les coordonn�es du vecteurWA E; en d�duire que la norme de ce vecteur v�rifie l'in�galit�suivante : 1 2 Wn1. 8
Troisième partie
Approximation de la solution du problmeP.
Dans toute la suite l' entiernest sup�rieur ou �gal 3n3. Soithettk,k0, 1, 2,, nr�els d�finis par les relations suivantes :1, les 1k h,tkh.k,k0, 1, 2,,n1. n1n1
III-1 Une approximation de la d�riv�e seconde: Soituune fonction quatre fois continûment d�rivable sur le segmentI. SoitMle maximum de la valeur absolue de la d�riv�e quatrime : 4Msup |ux|. xI Soienttethdes r�els tels que les r�elsthetthappartiennent au segmentI. D�montrer l' existenced' unefonctionRdes r�elstethqui v�rifient les relations suivantes : 4 2h uthuth2uth uÂtRt,h, |Rt,h|M. 12
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III-2.ProblèmePdiscr�tis�: a. D�montrer que, si les deux fonctionspetfsont deux fois continûment d�rivables, la solutionudu problmePest quatre fois continûment d�rivable. n SoientXetYles vecteurs deRetHla matrice diagonale deMnRd�finis par les relations suivantes : 2 2 ut1ft1h pt1h00 2 2 ut2ft2h0pt2h0 X,Y,H.     2 2 utnftnh0 0ptnh
b. D�terminer, en d�signant toujours parAla matrice d�finie la question II-2, un majorant de la norme du vecteurZAH.XY, au moyen des r�elsMeth. SoitXle vecteur d�fini par la relation suivante : 1 XAHY. c. D�montrer la majoration : 2 XXK h, oKaide deest une constante ; en donner une valeur l'M. Donner une signification du vecteurX. Pr�ciser comment ce vecteur se calcule. FIN DU PROBLÈME
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