CCMP 2003 mathematiques i classe prepa mp

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A 2003 Math MP 1´ ´ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.´ ´ ´ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DEL’ESPACE,´ ´ ´DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,´DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINESDE NANCY,´ ´DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.´ECOLE POLYTECHNIQUE (Fili`ere TSI).CONCOURS D’ADMISSION 2003´ ´EPREUVEDEMATH EMATIQUES` ´PREMIERE EPREUVEFili`ere MP(Dur´ee de l’´epreuve : 3 heures)(L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).Sujet mis al` adispositiondesconcours:Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.Les candidats sont pri´es de mentionner de faco¸ n apparente sur la premi`erepage de la copie :´MATHEMATIQUES 1-Fili`ere MP.Cet ´enonc´e comporte 4 pages de texte.Si, au cours de l’´epreuve, un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreurd’´enonc´e, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant lesraisons des initiatives qu’il est amen´e`a prendre.Premi`ere partieLe but de cette premi`ere partie est d’´etablir des r´esultats qui seront utilesdans la seconde partie.´Etant donn´eunentiern strictement positif (n≥ 1), soient S et I les deuxn nr´eels d´efinis par les relations ci-dessous :  n−1 n−1n n 1 dy S = ; I = dx .n ni + j +1 x + y+10 0i=0 j=01Int´egrale I .n1. Calculer, pour toute valeur de l’entier strictement positif n, l’int´egrale I .n2. D´eterminer les constantes A, B, C et D figurant dans le ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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A 2003 Math MP 1
´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Filie`reTSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2003
´ ´ EPREUVE DE MATHEMATIQUES ` ´ PREMIERE EPREUVE Filie`reMP (Dur´eedele´preuve:3heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujetmis`aladispositiondesconcours: Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.
Lescandidatssontprie´sdementionnerdefa¸conapparentesurlapremi`ere page de la copie : ´ MATHEMATIQUES1-Fili`ereMP. Cete´nonc´ecomporte4pagesdetexte.
Si,aucoursdele´preuve,uncandidatrepe`recequiluisembleˆetreuneerreur d´enonce´,illesignalesursacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantles raisonsdesinitiativesquilestamene´`aprendre.
Premie`repartie
Lebutdecettepremi`erepartieestd´etablirdesre´sultatsquiserontutiles dans la seconde partie.
´ Etantdonne´unentiernstrictement positif (n1),soientSnetInles deux r´eelsd´enisparlesrelationsci-dessous:   n1n1  n n   1dy   Sn= ;In=dx . i+j+ 1x+y+ 1 0 0 i=0j=0
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Inte´graleIn. 1. Calculer,pour toute valeur de l’entier strictement positifntnil,elarge´In.
2.De´terminerlesconstantesA,B,CetDe´deolevmepptnegurantdansl limit´edelafonctionnInnte:uivarmeslafosuostirce´siuqininl`a   D1 In=A n+Blnn+C+ +o . n n SommeSn: ´ 3.Etablirunencadrementdur´eelSn`aliaededIn.
4.Ende´duirequelasommeSn´esteenalivqulnieta`2an`inln 2.
SoitJnnt´elilargiusetnav:e  2 n1 1 k Jn=x dx. 0 k=0
Inte´graleJn: 5.D´eterminerlarelationquilielinte´graleJnelarue´Snsroleuqnd.Edu´ee,ir l’entiern´nqetnu,eltniuavıtincroˆnimed´edeJnl`ai.nin
Seconde partie
SoitEeel;soitertienr´rpe´ihblnuseapec(x, y)(x|y) le produit scalaire de cet espace.La norme d’un vecteurxdeEtesreaialscitduorpecedetiude´d, not´eex.
´ Etantdonn´eunre´elµ´erieurou´egal`a(1pusµ1), une suite denvecteurs d’un espace euclidienEn, de dimension finien,x1, x2, ..., xnest diteµ-presque orthogonale(enabr´eg´eµet seulement si :-p.o.) si
i. lesvecteursx1, x2, ..., xn,tie´unmeorentdons ii. pourtoute suite finie denr´eelsa1, a2, ..., anla norme du vecteur n aixiielbuodatilage´nelierv´´esuivante: i=1 2 n nn  12 2 (ai)aixiµ(ai). µ  i=1i=1i=1 Plusge´n´eralement:unesuited´enombrable(xkvecteurs unitaires) de kN dunespacepre´hilbertienr´eelestditepresqueorthogonale(p.o.),sietseule-mentsilexisteunre´elµ1 tel que, pour tout entiernstrictement positif, pour toute suite extraitex ,x ,et pour tou k1k2..., xknde la suite (xk)kNte n suite finie den´rlseea1, a2, ..., anraifie la ,la norme du vecteui=1xki´eriv relation suivante :
2
2 n nn  12 2 (ai)aixkiµ(ai). µ  i=1i=1i=1 Remarque :la suite des indicesk1, k2, ..., knde la suite extraitexk1, xk2, ..., xkn, est une suite monotone strictement croissantek1< k2< ... < kn. Premie`resproprie´t´es: SoitEnun espace euclidien de dimensionn. 6.D´emontrerque,pourquunesuitedenvecteursx1, x2, ..., xnsoit unebaseorthonorm´eedeEn, il faut et il suffit qu’elle soit une suite 1-presque orthogonale. 7.D´emontrerque,siunesuitedenvecteursx1, x2, ..., xndeEnest µ-presque orthogonale, la suite est libre. Un exemple : SoitElseevtcapecldesorietionfoncellee´rseine´dstiontcserlsuesnue segment [0,1] ; le produit scalaire de deux fonctionsfetgdeEsteed´rpani la relation suivante : 1 (f|g) =f(x)g(x)dx. 0 Soit (Pn) lasuite des fonctions deEd´enieaniv:tealitnouspsraaler nN n Pn(x) =2n+ 1x . 8.De´montrerque,bienquelasuitedesfonctionsPnitroemdnee´osnuti libre, la suite (Pn) n’estpas presque orthogonale. nN
Soit (V1, V2, ...,Vn) une suite libre deneriatinustnadnep´endsiurteecsv d’un espace euclidienEnde dimensionn. SoitMroderdraceee´rmalaictrn dontlese´l´ementsmi jes´saagcaxluruiapxorousdttniteursesdesvecVietVj.
M= (mi j) ;mi j= (Vi|Vj). ´ n Etantdonne´eunesuitedenlsr´eea1, a2, ..., an,soitAle vecteur deRde coordonn´eesa1, a2, ..., anla`ambcoaiinnlsoe´nieriasedeWtelevtcue´rgela vecteursV1, V2V, ...,navec les coefficientsa1, a2, ..., an:   a1 n a2   A= ;W=aiVi.   ... i=1 an
La suite de vecteurs(V1, V2V, ...,n)estµ-presque orthogonale : 9.De´montrerlexistencedunematricecarre´ePorthogonale et d’une ma-trice diagonaleDnolasenodtie´erl´ementsdeladiagdttnolsuoe´se,e0sdnt telles que :
3
t M=P.D.P.
t t ´ 10. Etablirla relation qui lie la norme du vecteurWelur´eaA.M.A;A de´signelamatricetranspose´edelamatricecolonneA.
11.End´eduirequelese´l´ementsdelamatriceDsont strictement positifs, puisend´eduireunencadrementdelanormeduvecteurWlav`sasruededelai propres de la matriceMet de la norme du vecteurBarl´egal`alimagepa matricePdu vecteurA(B=P.A).
12.Ende´duirequelasuite(V1, V2, ...,Vn) estµ-presque orthogonale ; pre´ciserdesvaleurspossiblespourler´eelµ.
Soit maintenant (Vnaiitsdreeuctunrselbaevedne´drbmounesuite)un n1 espacepre´hilbertienr´eelE.
Une condition suffisante : 13.De´montrerque,silexisteunr´eelα,srtcietemsunterp´urie3(`aα >3), tel que le produit scalaire de deux vecteursVpetVqlosbarueeujomaitsoalnveer´ −|pq| parlere´elα,e:sec`at-ir-d 1 |(Vp|Vq)| ≤, |pq| α la suite (Vnpresque orthogonale.) est n1
Deuxquestionspre´liminaires: 14. Soitfond´nctilafonieanedeqslrtualped1[na,[×[1,[ par la relation suivante : 2y+ 12xy+ 1 f(x, y) =. y+xy+ 1 SoitGniesd´edemiurlati[ed-or1fal,noitcno,[, par la relation suivante : G(xlim) =f(x, y). y−→∞ ´ Etudierlesvariationsdessixfonctionsd´eniessurlademi-droiteferme´e [1,[ par les relations suivantes :
xf(x,1) ;yf(1, y) ;G:xlimf(x, y) ; y−→∞ ylimf(x, y) ;fy:xf(x, y) ;fx:yf(x, y). x−→∞
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