CCMP 2003 mathematiques i classe prepa pc

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A 2003 Math PC 1´ ´ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.´ ´ ´ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DEL’ESPACE,´ ´ ´DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,´DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINESDE NANCY,´ ´DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.´ECOLE POLYTECHNIQUE (Fili`ere TSI).CONCOURS D’ADMISSION 2003´ ´EPREUVEDEMATHEMATIQUES` ´PREMIERE EPREUVEFili`ere PC(Dur´ee de l’´epreuve : 3 heures)(L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).Sujet mis a` la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT,TPE-EIVP.Les candidats sont pri´es de mentionner de faco¸ n apparente sur la premi`erepage de la copie :´MATHEMATIQUES 1-Fili`ere PC.Cet ´enonc´e comporte 4 pages de texte.Si, au cours de l’´epreuve, un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreurd’´enonc´e, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant lesraisons des initiatives qu’il est amen´e`a prendre.L’objetdeceprobl`eme est d’introduire suivant une m´ethode originale la fonc-tion Γ et de d´eterminer, a` l’aide de cette fonction, une expression de l’int´egraleI suivante :π/2I = ln (ln (tanx)) dx.π/4Premi`ere partieIl est admis que, si la fonction r´eelle f, d´ efinie sur un intervalle I de ladroite r´eelleR, est convexe, pour toute suite croissante de trois r´eels x , x , x ,1 2 3(x
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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A 2003 Math PC 1
´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Filie`reTSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2003
´ ´ EPREUVE DE MATHEMATIQUES ` ´ PREMIERE EPREUVE Filie`rePC (Dur´eedele´preuve:3heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujetmis`aladispositiondesconcours:CycleInternational,ENSTIM,INT, TPE-EIVP.
Lescandidatssontpri´esdementionnerdefac¸onapparentesurlapremie`re page de la copie : ´ MATHEMATIQUES1-Filie`rePC. Cet´enonc´ecomporte4pagesdetexte.
Si,aucoursdele´preuve,uncandidatrepe`recequiluisembleˆetreuneerreur de´nonce´,illesignalesursacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantles raisonsdesinitiativesquilestamene´`aprendre.
Lobjetdeceprobl`emeestdintroduiresuivantunem´ethodeoriginalelafonc-tionΓetdede´terminer,a`laidedecettefonction,uneexpressiondelint´egrale Isuivante : π/2 I(ln (tan= lnx))dx. π/4
Premi`erepartie
Ilestadmisque,silafonctionre´ellef,alrvleunurtein´deinseIde la droitere´elleR,pouvexetcon,esorsiticeetustruoeer´isroetedntsaslx1,x2,x3, (x1< x2< x3a)ppraetantn`alintervalleI, les valeurs prises par cette fonction encespointsve´rientlarelationsuivante:
f(x2)f(x1)f(x3)f(x1)f(x3)f(x2) ≤ ≤. x2x1x3x1x3x2
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SoitFctioefononnuninc0]nu-dmiitrouveoteer´d,eineruseedal,[, prenant des valeurs strictement positives (F(x)>0,)uqvie´ireelrospi´pr´eets suivantes : i.eltr´euopuotrxstrictement positif : F(x+ 1) =x F(x). ii.La fonctionxlnF(x) est une fonction convexe. iii.La fonctionFprend la valeur 1 en 1 : F(1) = 1. Encadrement deF(n+x)et deF(x): Danslesquatrepremie`resquestions,xnerlt´uepeasapenrtt`anilaretnllave semi-ouvert ]0,1] etneuri´eupalegu´ro(2a`nuneitreanutersln2). 1.De´montrerlesin´egalit´essuivantes:
lnF(n+x)lnF(n) lnF(n)lnF(n1)≤ ≤lnF(n+ 1)lnF(n). x
2. CalculerF(nrdacnenueriude´d).EnetdenemF(n+xal)`edxudeseadi x x expressions (n1).(n1)! etn .(n1)! .
´ 3. Etablirla relation qui lie, pour tout entierpre´pusieurou´egal`a1(p1), F(p+x)a`F(x).
4.End´eduirelesine´galite´ssuivantes: x n nn! F(x)≤ ≤F(x). x+n x(x+ 1). . .(x+n)
Unicite´delafonctionF: Dans les questions 5 et 6, il est admis qu’il existe une fonctionF,positive (F(x)>0rte]´e,d0)rlsuienrd-imedaevuoetio,[ria,v´ehspytnelseseto`h i,iietiii. ´ Etantdonne´unentierstrictementpositifn,soitunruseine´dnoalofcnit la demi-droite ouverte ]0,[ par la relation suivante : x n .n! un(x) =. x(x+ 1). . .(x+n) 5.D´eterminer,ensupposantler´eelxtimo-vurepravratlelnesier`alinatpe ]0,1], la limite de la suite (un(x))lorsque l’entiern.tminee´nitdnroˆıc nN 6.Ende´duirelalimitedelasuite(un(x))lorsque l’entierncroˆıt nN ind´eniment,pourtoutr´eelxstrictement positif.
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7.End´eduirequilexisteauplusunefonctionF-imeiorduseidalrdn´ete ]0,[,vi,e´vreneptsotistrictemse´t´eriopprestlanii,iietiii.
FonctionΓ: Soitkaeiutursel´rnqenoai0d]nendoltpclaf,[×]0,[ par la relation suivante : x1t k(x, t) =.t .e ´ 8.Etudier,pourunr´eelxdonn´e,lie´tnbargtiliede´folatinc:ontx1t t .esur la demi-droite ouverte ]0,[. SoitΓlafonctionde´niesurlademi-droiteouverte]0,[ par la relation suivante : x1t Γ (x) =t .edt. 0 ´ 9. Etablir quecette fonction Γ est strictement positive (Γ(x)>0). ´ 10.EtablirquecettefonctionΓestdeuxfoiscontinuˆmentd´erivablesurla demi-droite ouverte ]0,rpxeselrennoD.[sire´rceseP.vie´d´erecesonsdessi lexpressiondelade´rive´edelafonctionΓpourx= 1, Γ´(1),au moyen d’une int´egrale. Existence de la fonctionF: 11.De´montrerquelafonctionΓestlafonctionFtedu´snoiuestlesqdansi´ee pre´ce´dentes. Il est admis, dans la suite, que la constante d’Eulerγd´stnieareplae relation suivante :   n 1 γ= limlnn . n−→∞ k k=1
Valeur deΓ´(1): Soit (gnl)edetiusaoitcnofsrteouientp,setruo´dsninensuerp´eiruuo n1 e´gal`a1(n1), sur la demi-droite ouverte ]0,[ par la relation suivante : n   x gn(x) =xlnnlnx+ln 1. k k=1 12.D´eterminer,a`laidedesre´sultatsobtenuspre´c´edemment,lalimitede gn(x) lorsque l’entiern´reeeuelˆorclrslıtveietqinnx-edimaap`atlreiptan droite ouverte ]0,[.
Soit (vnruottunenei,soptieriusal)´esdontincfodeten´erieurousup n1 e´gala`1(n1), sur la demi-droite ouverte ]0,[ par les relations suivantes :
v1(x) =g1(x) ;pour tout entiernup´erieurou´egala`,2svn(x) =gn(x)gn1(x).
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13. Ilest admis que chaque fonctionvn, nNctseitnomuˆndtneri´eblvae;, d´emontrerquelase´riedesfonctionsd´erive´es,determeg´ene´ralvn´(x), nN, est convergente pour toutxfptisuuintmesipotnemvnocofine´mrergentecietsrt sur tout segment [a, b] contenu dans la demi-droite ouverte ]0,[.
14.Ende´duirelalimitedelasuitedesfonctionsde´rive´esgn´.
15. Quevaut Γ´(1) au moyen de la constante d’Eulerγ?
Seconde partie
Soitsfiti(st´ectrienemostpurne´leodnns >0). FonctionL: ´ 16.Etudierlaconvergencedelase´riedetermeg´ene´ralwn, nN,pei´ndra la relation suivante : n (1) wn=s. (2n+ 1)
SoitLald´eniesfonctionoetiord-imedalru]0teeruv,[ par la relation : n (1) L(s) =s. (2n+ 1) n=0 17.D´emontrerquelas´erieentie`redetermeg´en´eral n (1) 2n+1 x ,nN, 2n+ 1 estuniforme´mentconvergentesurlesegment[0,1]. Soitϕ(x) la somme de cettese´rie: n (1) 2n+1 ϕ(x) =x . 2n+ 1 n=0 De´terminerlafonctionϕed´0esmgne[tinseruel,1].´eduireEndL(1).
18. Soiths]e0evtremi-rladteoudroin´esuiectonndiofal,[, par la relation suivante : lnx hs(x) =. s x ´ Etudier les variations de la fonctionhse´ditinS.notiorssuenonmbsedelexs labscissedumaximumdecettefonction.Pre´ciserlesvariationsdelafonction sxs.
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