CCMP 2003 mathematiques i classe prepa psi

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A 2003 Math PSI 1´ ´ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.´ ´ ´ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DEL’ESPACE,´ ´ ´DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,´DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINESDE NANCY,´ ´DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.´ECOLE POLYTECHNIQUE (Fili`ere TSI).CONCOURS D’ADMISSION 2003´ ´EPREUVEDEMATHEMATIQUES` ´PREMIERE EPREUVEFili`ere PSI(Dur´ee de l’´epreuve : 3 heures)(L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).Sujet mis a` la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT,TPE-EIVP.Les candidats sont pri´es de mentionner de faco¸ n apparente sur la premi`erepage de la copie :´MATHEMATIQUES 1-Fili`ere PSI.Cet ´enonc´e comporte 4 pages de texte.Si, au cours de l’´epreuve, un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreurd’´enonc´e, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant lesraisons des initiatives qu’il est amen´e`a prendre.Soit I le segment d’extr´emit´es 0 et 1 : I =[0,1] ; dans tout ce probl`eme het f sont des fonctions r´eelles donn´ees d´efinies et continues sur la droite r´eelleR.Soit(E)l’´equation diff´erentielle suivante :(E) − y (x)+h (x) y (x)=f (x),o`ulafonctiony est une fonction inconnue d´efinie sur la droite r´eelleR.Le but de ce probl`eme est d’´etudier les solutions de cette ´equation diff´erentielle(E)quiv´erifient les conditions “aux limites” suivantes : la solution y recherch´ eeest nulle en chacune des ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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A 2003 Math PSI 1
´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Fili`ereTSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2003
´ ´ EPREUVE DE MATHEMATIQUES ` ´ PREMIERE EPREUVE Filie`rePSI (Dur´eedel´epreuve:3heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujetmis`aladispositiondesconcours:CycleInternational,ENSTIM,INT, TPE-EIVP.
Lescandidatssontpri´esdementionnerdefa¸conapparentesurlapremie`re page de la copie : ´ MATHEMATIQUES1-Filie`rePSI.
Cete´nonc´ecomporte4pagesdetexte.
Si,aucoursdel´epreuve,uncandidatrepe`recequiluisembleeˆtreuneerreur d´enonc´e,illesignalesursacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantles raisonsdesinitiativesquilestamen´ea`prendre.
SoitIl´time0se:1tegesntmeexd´etrI= [0,lbe`em1];danstoutceproh etfller´eeoiteladrssrunieuoctnsetenied´es´enndoesllee´rsnoitcnofsostned R. Soit(E:eseiuavtnntrelliendio´eie´ltauq)
 (E)y(x) +h(x)y(x) =f(x), o`ulafonctionynotcoiinetsnufen´esuieonncednue´reelledalrtiorR.
Lebutdeceproble`meestd´etudierlessolutionsdecettee´quationdie´rentielle (Eoinlotu)uqiv´erientlesconitidsnolxuatimisesvauiesntas:ly´eerehcerhc estnulleenchacunedesextre´mit´es0et1delintervalleI.
Les fonctionshetfnatesedt´seusrcsnoitunsr´eellefonctionR, soit (S) le syst`emeconstitue´dele´quationdi´erentielle(Elaitauesnoirpxtnam´sqeteed) nullit´edelasolutionyellavretmit´es0et1delinaxuxerte´I:
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 y(x) +h(x)y(x) =f(x), (S) y(0) = 0, y(1) = 0. Une fonctionyeni,d´esurRsiocxuofuˆemtnni,deiverd´ntrsuleabRaire´v,tn lese´quationsdusyst`eme(Sitesolut)estdme`t(ednoisysuS).
Premi`erepartie
La fonctionhstanecon`aungaletse´enoitcnofalteetfest nulle: 1.De´montrerque,lorsquelafonctionhiesurd,ne´Ra`nue,est´egale constanter´eelleα(h(x) =αR) et la fonctionfest nulle (f(x) = 0), la seule solutiony(tsyusdeme`S) est la fonction nulle (y(x) = 0 pour toutx), sauf 2 pourcertainesvaleursdure´elαqropesee;ss´ci´eprntroseuiα=ωouα= 2 ω(ω >lievra´n)t,qsueu0eelα.fitageictrusfon´ntmeteetemrtciisittnopests
Uneexpressiondelasolutiondusyste`me(S) : Unre´sultatpr´eliminaire:soitϕfenurunuesontieetceniel´de´leoirnnotc ladroitere´elleRtincfolatΦoi;sivante:lationsuperaalerno´dein
  x1 pourtoutre´elx,Φ (x) = (1x)t ϕ(t)dt+x(1t)ϕ(t)dt. 0x 2 2.De´montrerquelafonctionΦestd´enieetdeclasseCsur toute la droite re´elleRerminersad´eriv´eeesocdnΦe;te´d´ainsi que les valeurs prises par la fonction Φ en 0 et en 1 :Φ (0),Φ (1).
3.D´emontrerque,siΦ1e´iravlbuefxiodsesurlatsefenuel´e,dlectonnrio droiter´eelleRelrsletavee´irelequell,telteans:nsioivsu
 pourtoutre´elx,Φ (x) 1=ϕ(x),Φ1(0) = 0,Φ1(1) = 0, les fonctions Φ et Φ1ntsoΦ(selage´1= Φ). 4.End´eduire,lorsquelafonctionhestentleeniut´ciuedllunl,esixecnet solutionye(t`emsusydS0) suivant :  y(x) =f(x), (S0) y(0) = 0, y(1) = 0. Une condition sur la fonctionhlorsque la fonctionfest nulle: La fonctionfulen´eosppsuste(elfe`tsysel;)0=me(St,ecri)s´  y(x) +h(x)y(x) = 0, (S1) y(0) = 0, y(1) = 0. 5.D´emontrerque,pourquunefonctiony,unitnoctrdalruseteoid´eniee re´elleRelysireem(tse`´e,vS1),il faut et il suffit que la fonctionyvuorep,e´ir toutr´eelx, la relation (R) suivante :   x1 (R´pe)elourtoutrx, y(x) = (x1)t h(t)y(t)dt+x(t1)h(t)y(t)dt. 0x
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6.D´emontrerlexistencededeuxre´elsHetYrespectivement maximums des valeurs absolues des fonctionshetysur le segmentI= [0,1].
7. Soity(emesudn`tsyesolutiounS1;)e´leuort,perrtouemd´tronxappar-tenant au segmentI(0x1),lage´nil:teanivsu´eit H Y |y(x)| ≤. 8 8.End´eduireuneconditionne´cessairesurlafonctionh, pour qu’il existe des solutionsytincfolae,llnuone`tsysud(ema,qseutuerS1uel,euqsroVi.r)e´qrela fonctionhest constante, cette condition est remplie lorsqu’il y a des solutions di´erentesde0.
Seconde partie
Rappel :une fonctionf,iter´eellee´d,einlrusorda´erleelR, est dite 2-pe´riodiquesietseulementsi:pourtoutre´elx, f(x+ 2) =f(x).Les coeffi-cients de Fourieran(f), bn(f), n1,sparenintd´soviussnoitalerselstean :
pour toutnor´ugelapue´irues`a1,
  2 2 an(f) =f(t) cos(n π t)dt, bn(f) =f(t() sinn π t)dt. 0 0
Lebutdecettesecondepartieestdere´soudrele´quationdie´rentiellesuiv-ante
 (F)y(x) +h(x)y(x) =f(x), o`uhetfonssedtcnofnoite´dsueinntcoe,lleer´etiordalrussein-se2,apri,smi pe´riodiques.Lafonctioninconnueympeireaippsu´eostseiodiqueis-2´pree,llaesu, maisenplusdeuxfoiscontinuˆmentd´erivableetve´riantlesconditionsauxlim-ites suivantes sur le segmentI: elleest nulle en 0 et en 1.
Lorsque la fonctionyblvae,itnomuˆndtneire´odique,deuxfoisc,miapri2ep-e´ir v´eriel´equationdie´rentielle(Fnied´eses-dciessnoitidntimilxuaesco)etlsus, elleestditesolutiondusyst`eme(T) suivant :  y(x) +h(x)y(x) =f(x), (T) y(0) = 0, y(1) = 0. SoitGnotclfae´rraclensdaien´endioI×Ipar la relation suivante : t(1x),si 0tx, (x, t)G(x, t) x(1t),sixt1. ´Etantdonne´unre´elxsedu´extengmI ,soitGxla fonction impaire, 2-pe´riodique,´egale`aG(x, tltuotee´r)ruoptappartenant au segmentI:
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