CCMP 2003 mathematiques ii classe prepa pc

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A 2003 Math PC 2´ ´ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.´ ´ ´ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DEL’ESPACE,´ ´ ´DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,´DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINESDE NANCY,´ ´DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.´ECOLE POLYTECHNIQUE (Fili`ere TSI).CONCOURS D’ADMISSION 2003´ ´EPREUVEDEMATHEMATIQUES` ´DEUXIEME EPREUVEFili`ere PC(Dur´ee de l’´epreuve : 3 heures)(L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).Sujet mis a` la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT,TPE-EIVP.Les candidats sont pri´es de mentionner de faco¸ n apparente sur la premi`erepage de la copie :´MATHEMATIQUES 2-Fili`ere PC.Cet ´enonc´e comporte 4 pages de texte.Si, au cours de l’´epreuve, un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreurd’´enonc´e, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant lesraisons des initiatives qu’il est amen´e`a prendre.Premi`ere partieSoit M l’espace vectoriel des matrices r´eelles carr´ees d’ordre 3. Soit C leproduit cart´esienM×M. Il est admis que cet ensemble est un espace vectorielr´eel `a l’aide de la loi interne, addition, et de la loi externe, multiplication parun r´eel, d´efinies par les relations suivantes :La somme de deux ´el´ements deC,(P, Q)et(R, S)estl’´el´ement (P + R, Q + S):(P, Q)+(R, S)=(P + R, Q + S).Le produit d’un r´eel λ et de l’´el´ement (P, Q)estl’´el´ement (λP, λQ)deC :λ(P, Q)=(λP, λQ).1En plus de ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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A 2003 Math PC 2
´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Filie`reTSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2003
´ ´ EPREUVE DE MATHEMATIQUES ` ´ DEUXIEME EPREUVE Filie`rePC (Dur´eedele´preuve:3heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujetmis`aladispositiondesconcours:CycleInternational,ENSTIM,INT, TPE-EIVP.
Lescandidatssontpri´esdementionnerdefac¸onapparentesurlapremie`re page de la copie : ´ MATHEMATIQUES2-Filie`rePC. Cet´enonc´ecomporte4pagesdetexte.
Si,aucoursdele´preuve,uncandidatrepe`recequiluisembleˆetreuneerreur de´nonce´,illesignalesursacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantles raisonsdesinitiativesquilestamene´`aprendre.
Premie`repartie
SoitMtioSra´reedsodrer.3atricesr´eellescvecaotceleirmsedlspeCle produitcart´esienM×M. Ilest admis que cet ensemble est un espace vectoriel re´ela`laidedelaloiinterne,addition,etdelaloiexterne,multiplicationpar unre´el,de´niesparlesrelationssuivantes: Lasommededeux´el´ementsdeC, (P, Q) et (R, St(eneml´´elste)P+R, Q+S) :
(P, Q) + (R, S) = (P+R, Q+S). Leproduitdunr´eelλedtee´lme´l(tneP, Qtn()tlesel´me´eλP, λQ) deC:
λ(P, Q) = (λP, λQ).
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En plus de ces lois de composion, soitla loi de composition interne, ap-pele´eproduit,qui,auxdeux´ele´mentsdeC, (P, Q) et (R, S) fait correspondre le´l´ementdeC,(P.R, P.S+Q.R),(P.R, P.SetQ.Rsont respectivement les produits des matricesP, R,P, SetQ, R).
(P, Q)(R, S) = (P.R, P.S+Q.R).
Lalg`ebre(C,+, .,) : 1. Quelleest la dimension de l’espace vectorielC? 2.De´montrerquelespaceCest uneRrbaegle`aiitssco-atneme´aiitunveel´.Lre unite´decettealge`breestnot´ee. t ´ Etantdonn´el´ele´ment(P, Q) deC,soit (P, Qt)nlede´em´leCde´ani` t t laidedesmatricestranspose´esPetQdes matricesPetQdafelcoa¸iusntnave :   t tt (P, Q) =P, Q. SoitGeneml´´e(tsleossue-snmelbdeseP, Q) deCtels que : la matricePsetnge´treteanim`aal1.estogonorthriceladeno´dets: t t les matricesPetQreinelt´vn:arelatioP.Q+Q.P= 0
   3t t G= (P, Q)|(P, Q)C, PSOR, P.Q+Q.P= 0.
Le groupe G : 3.D´emontrerquelesous-ensembleGdeCest, pour la loi produit, un groupe.
4. SoitHele´´lmenest(sous-ensembledesP,0) du groupeGqrereu´e.Dntmo   3 Hest un sous-groupe deGisomorphe au groupeSOR.
5. SoitA´eels´delembseen-suoselemtn(sI3, Q) deG(I3est la matrice unite´).
A={(I3, Q)|(I3, Q)G}. Est-ce queAest un sous-groupe deG?
6.De´montrerque,pourquune´le´ment(P, Q) deCppatiarneen`aG, il faut etilsutqueled´eterminantdelamatricePsio´teraleuqte1a`lageontila t (P, Q)(P, Q) =eait lieu :
t (P, Q)G⇐⇒(P, Q)(P, Q) =e,detP= 1.
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Seconde partie
Le but de cette partie est de montrer qu’il existe un isomorphisme entre legroupedesde´placementsdelespacedelage´om´etrieaneeuclidienneetle groupeGeci´dei-´udetsuss. Dans toute la suite,E3arept´enrinoieidesabenunespestuuelcirleceotcave   orthonorme´edirecteB=j ,ki ,. Leproduit scalaire de deux vecteurs xety´tontseex . y.
Unr´esultatpr´eliminaire: −→ 7 . Soitaun vecteur deE3; soitpal’endomorphisme deE3dans lui-mˆemequi,auvecteurx, associe le produit vectoriel des vecteursaetx: xaxest la matrice. QuellePnoisscoa`ali´eeicatapplpdans la a a baseBdeE3?
8. Soitrune rotation deE3dnaslui-mˆeme;compaprerdruovxueetcesur quelconquesxetydeE3les expressions suivantes : r(xy), r(x)r(y).
9.De´montrerque,sirest une rotation deE3etaun vecteur deE3, il existe un vecteurbdeE3tel que l’endomorphismerpac,e´sdemooppaet dermeisst´e,e`lagelamodnhpropr´sdee,cpoomret dep: b b
rp=pr; a b exprimer ce vecteurben fonction du vecteuraet de la rotationr.
Dans toute la suite, soitEe´gae´mocapsledeel´teennoeirneeuclidietrieane ;Ecapsceveoitcenunidclnieritoeuelˆeteersneustpuop´snededireespaceaorient´eE3. SoitOune origine eti ,j ,ketcevsiortsc´ermnohortsouronsti-tuant avec le pointOurnpee`erOxyzdirect.
D´eterminationdunedroite`alaidededeuxvecteursetdunrepe`re : L’espaceEinumtse`pernudctremronide´oereohtrOxyz; soitDune droite de l’espace affineE,Aun point de cette droite etuun vecteur directeur unitaire de cette droite.
10. SoitMun point quelconque de la droiteDetru´D.emontrerquelevec −−→ v ,e´agalpuuetcevsesrveitduroldieorctOMetu ,udopadtnnitestepenind´ Mde la droiteD: −−→ v=OMu . Comparer les directions des deux vecteursuetv.
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11. Soientuetvdeux vecteurs de l’espaceE3tels que le vecteurusoit unitaire (u= 1) etvnolaa`orogthu(u . v= 0).esedidaal,`D´eterminer deux vecteursuetuv, les vecteursxdeE3tiuasuonelsdeq´navietitnoosul, :
xu=v .
´ 12.Etantdonne´sdeuxvecteursuetvde l’espaceE3tels que le vecteur usoit unitaire (u= 1)etvlaa`gonorohtu(u . v´emo0),d=liuqrertn existe une seule droiteDde l’espaceEtelle qu’un vecteur directeur unitaire de la droiteDsoit le vecteuruet que tout pointMdeDireve´tilarelaon suivante : −−→ OMu=v . 13. Exemple: lesvecteursuetvsid,nalsnodte´nserep`ereOxyz, par les relations suivantes : u=i;v=b j+c k, o`ubetc´eeleuxrontdsonsdesn´´e.DrmterenirdaletioDcorrespondante. SoitPle sous-ensemble deE3×E3des couples de deux vecteurs (u ,v) tels que le premier vecteurusoit unitaire et le secondvsoit perpendiculaire a`u. ` 14.Aquelleconditionn´ecessaireetsusantedeuxcouplesdevecteurs (vu ,) et (u´, v´),a`antnarteappP,ereim´dtemˆlantneitroedemD? Soitdalpe´dnucementdelespaceEmnudirupee`erroonthm´oriredtecOxyz ;parde´nition,ileste´gala`lapplicationcompos´eedunerotationrde l’espace E3et d’une translation de vecteuradeE3; soitMiamegapl´acementrced´epl dd’un pointM; le vecteurOMuveci´eateurlertse´OMpar la relation suivante :   OM´=a+r OM .
Isomorphismeentrelegroupedesde´placementsdelespaceEet le groupe G : Soientd,und´eplacementDune droite quelconque de l’espaceEetD´l’image de la droiteDpa´eplrlednetcamed:
D´=d(D). 15. Auxdeux droitesDetDl’espace´ deErupee`erm,nudim´eorthonor directOxyzicossatnos,ueaqsl`eprasd´epuelseoc1nd4tsoiurs(ectesdevvu ,) et (u´, v;)´dmenortreuq,e´(srcoleleupvedeeuctvu ,´)natee,iltx´est possible de choisir le couple de vecteurs(u´, v´oc¸afed)ceetrusqneuelvsu´ et vau moyen des vecteurs´ s’exprimentuetvpar les relations suivantes :
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