CCMP 2003 mathematiques ii classe prepa psi

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A 2003 Math PSI 2´ ´ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.´ ´ ´ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DEL’ESPACE,´ ´ ´DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,´DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINESDE NANCY,´ ´DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.´ECOLE POLYTECHNIQUE (Fili`ere TSI).CONCOURS D’ADMISSION 2003´ ´EPREUVEDEMATHEMATIQUES` ´DEUXIEME EPREUVEFili`ere PSI(Dur´ee de l’´epreuve : 3 heures)(L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).Sujet mis a` la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT,TPE-EIVP.Les candidats sont pri´es de mentionner de faco¸ n apparente sur la premi`erepage de la copie :´MATHEMATIQUES 2-Fili`ere PSI.Cet ´enonc´e comporte 4 pages de texte.Si, au cours de l’´epreuve, un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreurd’´enonc´e, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant lesraisons des initiatives qu’il est amen´e`a prendre.Premi`ere partieSoit M l’espace vectoriel des matrices r´eelles carr´ees d’ordre 3. Soit C leproduit cart´esienM×M. Il est admis que cet ensemble est un espace vectorielr´eel `a l’aide de la loi interne, addition, et de la loi externe, multiplication parun r´eel, d´efinies par les relations suivantes :La somme de deux ´el´ements deC,(P, Q)et(R, S)estl’´el´ement (P + R, Q + S):(P, Q)+(R, S)=(P + R, Q + S).Le produit d’un r´eel λ et de l’´el´ement (P, Q)estl’´el´ement (λP, λQ)deC˜:λ(P, Q)=(λP, λQ).En plus de ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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A 2003 Math PSI 2
´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Fili`ereTSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2003
´ ´ EPREUVE DE MATHEMATIQUES ` ´ DEUXIEME EPREUVE Filie`rePSI (Dur´eedel´epreuve:3heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujetmis`aladispositiondesconcours:CycleInternational,ENSTIM,INT, TPE-EIVP.
Lescandidatssontpri´esdementionnerdefa¸conapparentesurlapremie`re page de la copie : ´ MATHEMATIQUES2-Filie`rePSI. Cete´nonc´ecomporte4pagesdetexte.
Si,aucoursdel´epreuve,uncandidatrepe`recequiluisembleeˆtreuneerreur d´enonc´e,illesignalesursacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantles raisonsdesinitiativesquilestamen´ea`prendre.
Premi`erepartie
SoitMtioS.3eseacrre´sedrordesmatricesr´eellapseevecrotcdleilCle produitcarte´sienM×M. Ilest admis que cet ensemble est un espace vectoriel re´el`alaidedelaloiinterne,addition,etdelaloiexterne,multiplicationpar unr´eel,d´eniesparlesrelationssuivantes: Lasommededeux´ele´mentsdeC, (P, Q) et (R, Sntme´eel´tles)(P+R, Q+S) :
(P, Q) + (R, S) = (P+R, Q+S). Leproduitdunr´eelλeledtle´eme´(ntP, Q(tm)eenelstl´´eλP, λQ) deC˜:
λ(P, Q) = (λP, λQ). En plus de ces lois de composion, soitla loi de composition interne, ap-pel´eeproduit,qui,auxdeuxe´l´ementsdeC, (P, Q) et (R, S) fait correspondre
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le´l´ementdeC,(P.R, P.S+Q.R),(P.R, P.SetQ.Rsont respectivement les produits des matricesP, SP, R,etQ, R).
(P, Q)(R, S) = (P.R, P.S+Q.R).
Lalg`ebre(C,+, .,:˜) 1. Quelleest la dimension de l’espace vectorielC? 2.De´montrerquelespaceCest uneRe.L´el´eunitairosictavi`gbeersala-nemet unite´decettealge`breestnote´e. t ´ Etantdonne´l´el´ement(P, Q) deC,soit (P, Ql)etdeneml´´eC`eandi´ t t laidedesmatricestranspose´esPetQdes matricesPetQteanivsu:edalafc¸no   t tt (P, Q) =P, Q. SoitGenseous-des´mbleemtnlee´sel(sP, Q) deCtels que : la matriceP.1a`lhortnagotoes:eosdne´elidertctest´egaterminan t t les matricesPetQ:itnoerallanteri´evP.Q+Q.P= 0
   3t t G= (P, Q)|(P, Q)C, PSOR, P.Q+Q.P= 0.
Le groupe G˜: 3.De´montrerquelesous-ensembleGdeCest, pour la loi produit, un groupe.
4. SoitHsuossne-lbmesedest(meneel´e´lP,0) du groupeGmont.D´eeuqrer   3 Hest un sous-groupe deGisomorphe au groupeSOR.
5. SoitAlesous-ntmes(´sede´leesneelbmI3, Q) deG(I3est la matrice unite´).
A={(I3, Q)|(I3, Q)G}. Est-ce queAest un sous-groupe deG?
6.D´emontrerque,pourquun´el´ement(P, Q) deCappraitneena`G, il faut etilsutqueled´eterminantdelamatricePio´tsitalnolaretque`a1eegal t (P, Q)(P, Q) =eait lieu :
t (P, Q)G⇐⇒(P, Q)(P, Q) =e,detP= 1.
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Seconde partie
Le but de cette partie est de montrer qu’il existe un isomorphisme entre legroupedesd´eplacementsdelespacedelage´ome´trieaneeuclidienneetle groupeG´etsu.edssce-idu´i Dans toute la suite,E3ceevecapsenutseenriept´unarasebirotueledilconei   orthonorme´edirecteB=j ,ki ,produit scalaire de deux vecteurs. Le xetyt´etsonex . y.
Unr´esultatpr´eliminaire: 7 . Soitaun vecteur deE3; soitpl’endomorphisme deE3dans lui-−→ a meˆmequi,auvecteurx, associe le produit vectoriel des vecteursaetx˜: xaxest la matrice. QuellePlaappilacitnoase`´ecisopdans la a a baseBdeE3?
8. Soitrune rotation deE3erpompare;comˆemsrtcuexuevruednsdai-lu quelconquesxetydeE3les expressions suivantes : r(xy), r(x)r(y).
9.De´montrerque,sirest une rotation deE3etaun vecteur deE3, il existe un vecteurbdeE3tel que l’endomorphismerpaco,osmpde´epaet derlendomorphisme,se´tgelaa`prde´eosmpco,ret dep: b b
rp=pr; a b exprimer ce vecteurben fonction du vecteuraet de la rotationr.
Dans toute la suite, soitEtneiee´´lmsteeaipreaceedal´goedienneorneeucli ;Eneidilcuelitnoricededeaenorievectpaceunestseppusneeuacsp´eostrˆe orient´eE3. SoitOune origine eti ,j ,konthm´orcoestins-torsievtcuesrro tuant avec le pointOrep`unereOxyzdirect.
D´eterminationdunedroite`alaidededeuxvecteursetdunrepe`re: L’espaceEedirectthonorm´pee`erronudiurntmesOxyz; soitDune droite de l’espace affineE,Aun point de cette droite etuun vecteur directeur unitaire de cette droite.
10. SoitMun point quelconque de la droiteDeleuqrerruetcevntmo´e.D −−→ v ,otirvtcevssceeltereudegal´oduiauprOMetu ,tniopuantdpendnd´eesti Mde la droiteD: −−→ v=OMu . Comparer les directions des deux vecteursuetv.
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11. Soientuetvdeux vecteurs de l’espaceE3tels que le vecteuru soit unitaire (u= 1) etvartogohol`nau(u . v= 0).deaiD´eterminer,`aldes deux vecteursuetuv, les vecteursxdeE3nqu´eioatedloisnlotus, suivante :
xu=v .
´ 12.Etantdonn´esdeuxvecteursuetvde l’espaceE3tels que le vecteur usoit unitaire (uet= 1)vohort`laoganu(u . vtreremon),d´=0liuq existe une seule droiteDde l’espaceEtelle qu’un vecteur directeur unitaire de la droiteDsoit le vecteuruet que tout pointMdeD´vreraleilenioat suivante : −−→ OMu=v . 13. Exemple: lesvecteursuetvsneler`pein,sadsod´ntereOxyz, par les relations suivantes : u=i;v=b j+c k, ou`betcosdonneelsuxr´ntdes.´eetD´mierrlneordaetiDcorrespondante. SoitPle sous-ensemble deE3×E3des couples de deux vecteurs (u ,v) tels que le premier vecteurusoit unitaire et le secondvsoit perpendiculaire a`u. ` 14.Aquelleconditionne´cessaireetsusantedeuxcouplesdevecteurs (u ,v) et (u´, v´),appaaant`rtenPe´etd,neltmrnidrmeˆeamteoiD? Soitde´dnunemecalptdelespaceEuder`preoetrohon´ermredictmuniOxyz ;pard´enition,ileste´gala`lapplicationcompos´eedunerotationrde l’espace E3et d’une translation de vecteuradeE3; soitMperaec´d´lmiganteplaceme dd’un pointM; le vecteurOMeurvecttse´uae´ilerOMpar la relation suivante :   OM´=a+r OM .
Isomorphismeentrelegroupedesd´eplacementsdelespaceEet le groupe G : Soientd´eplacement,dnuDune droite quelconque de l’espaceEetD´l’image de la droiteDled´parcemeeplatnd:
D´=d(D). 15. Auxdeux droitesDetD´ del’espaceEreoetrohinuder`pmu,norm´e directOxyzdse´icossatnos,ontiesqulaesr`apedevlpsecsuo41edrs(cteuu ,v) et (u´, vomtnerqreul,ceuo´);d´eedplecevurtes(vu ,e´)tnate´xst,ile possible de choisir le couple de vecteurs(u´, vafed)´leuqnoc¸srseevtcueu´ et vau moyen des vecteurs´ s’exprimentuetvpar les relations suivantes :
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