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A 2004 Math MP 1
´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Filie`reTSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2004
` ´´ PREMIERE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Filie`reMP (Dure´edele´preuve:3heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujetmis`aladispositiondesconcours: Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.
Lescandidatssontprie´sdementionnerdefa¸conapparentesurlapremie`repagedelacopie: ´ MATHEMATIQUES1-Fili`ereMP.
Cete´nonc´ecomporte4pagesdetexte. Si,aucoursdel´epreuve,uncandidatrep`erecequiluisembleˆetreuneerreurd´enonce´,illesignalesur sacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilestamene´a`prendre.
Lobjetdeceproble`meestprincipalementl´etudeetlecalculdelinte´gralesuivante: Z arctant I=dt . π t e1 0
Premi`erepartie
Lebutdecettepartieestde´tabliruneexpressiondelinte´graleIerlafonctdio´netuditeϕnied´e par la relation suivante : arctant ϕ(t) =. π t e1
Variations de la fonctionϕ: 1.D´eterminerune´ventuelprolongementparcontinuite´delafonctionϕen 0. ´ 2. Etudierles variations de la fonctionϕsur la demi-droite ouverteD= ]0,nassere´tpeut[;ileintˆetr d’introduire la fonction auxiliaireψitalusnorapeerald´nieivante: π t 1e ψ(t) =πarctant . 2 1 +t
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Ende´duirelabornesup´erieuredelafonctionϕsurD. Existenceetexpressionsdelinte´graleI: 3.Justierlexistencedelinte´graleIelarrlpauinsioat:eavtneine´d Z arctant I=dt . π t e1 0
4.D´emontrerlesdeuxrelationssuivantes: ZZ ∞ ∞k π t X X 1e k π t I=earctant dt;I=dt . 2 k π1 +t 0 0 k=1k=1
Deuxi`emepartie
Le but de cette partie est d’introduire une fonctionfnoa`afc¸fsrortnadeeunetbossexesrlmeonsiespr pre´ce´demmentpourlint´egraleIet`apouvgr´eeallreltnicriouclaI.Soitftionrelaarlainpe´deitnoofcnla suivante :
Z ∞ −x t e f(x) =dt . 2 1 +t 0
Propri´ete´sdelafonctionf: 5.De´terminerlensembleded´enitiondelafonctionfecr´.Penlerisadelbmesleuqelsnnctilafoonf estcontinue;quelleestsalimitelorsqueler´eelxtend vers l’infini ?
´ 6.Dansquelensembleest-elledeuxfoiscontinˆumentd´erivable?Etablirunerelationsimpleentrela fonctionfeeesir´veocdnad´eetsf´sur la demi-droite ouverteD= ]0,[.
Deuxint´egrales: ´ Soitanu´reeslrtcimeteponttisif(a >.)0natEnodtue´nlerne´X`aegalrou´iruepue´sa(Xa), soient S(X) etC(Xraegt´inuxdees)ltnse:elssiuav Z Z X X sintcost S(X) =dt;C(X) =dt . t t a a 7.Existe-t-ilunelimitea`chacunedesexpressionsS(X) etC(X),loreeller´squeXcroˆıt vers l’infini ?
Soientgethd´eniessurladem-irdioetuoevtredselfxuetcnosnoiDsuivantes :par les relations Z ZZ Z XX sintsintcostcost g(x) =dt= limdt;h(x) =dt= limdt . t tt t X−→∞X−→∞ x xx x
Une expression de la fonctionf:
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8.R´esoudrele´quationdie´rentiellev´eri´eeparlafonctionfdans la demi-droite ouverteD= ]0,[ ;exprimerlasolutiong´ene´raledecette´equation`alaidedesdeuxfonctionsgeth.
9.End´eduirelesdeuxexpressionsci-dessousdelafonctionf: Z Z ∞ ∞ sinusin (xt) f(x) =du=dt . u+x1 +t 0 0
Troisi`emepartie
Unr´esultatinterme´diaire: 10.Enutilisantlesre´sultatse´tablisdanslespremi`ereetdeuxie`meparties,de´montrerlarelation suivante : Z X 1 sin(k u) I=du . k ππ+u 0 k=1
11.D´emontrerlere´sultatsuivant:  ! ZX X 1 11 1cos (nu) I=du. 2 22 2 π kπ n 0(u+π) k=1n=1
2Sommedelase´riedetermege´ne´ralcos (nu)/n , nN: SoitGfanotcoi2elriodep´equediodire´p,ellee´retiodrlauresnied´n,π(G(x+ 2π) =G(x)), dont la restriction au segment [0,2π:ee´dtse]lrapeinioatelarntvauins 2 2 x πxπ G(x) =+. 4 2 6
´ 12.Etudierlaparite´delafonctionGmentoppeevelled´rueiedoFreeine´stsencieco`ar,´e.Drmteerin r´eels,decettefonctionG. Quelleestlanaturedelaconvergencedelas´eriedeFourier? 213.Ende´duirelasommeT(xs´lade)tedeieere´´nmrgeoc(srelanx)/n , nN,lorsleuqe´relex appartient au segment [0,2π] : X cos (nx) T(x) =. 2 n n=1 2End´eduirelasommeSne´gemretedeire´aseldl1´eran/n ,N: X 1 S=. 2 n n=1
Valeurdelinte´graleI:
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Soitakesalvauintigr´einelrape´re´dleltn:e  ! Z2 (k+1)π X 1 cos(nu) ak=du. 2 2 n 2k π(u+π) n=1 14. Calculer,pour tout entier naturelk,uedrvalalelrue´ak. SoitNSoitun entier strictement positif.INeinaplrraletaoicn-iedsslueor:´seeld´ N1  X 2n+ 3 IN=1 + (n+ 1) ln. 2n+ 1 n=0 15.De´montrerquelavaleurdelinte´graleIt´egesalalale`ledetimi(etiusaIN): NN
I= limIN. N−→∞ End´eduirequelint´egraleItneg.eoceirevnneuers´solaedmmets
16.Apr`esavoirmontr´equelexpressionEN(= expINtiudorpnua`elaget´es)afeduetcd,srete´inrmer lavaleurdelint´egraleI.
SoitJ:etnaviulint´egrales Z arctant J=dt . 2π t e1 0 Ilestfaciledecalculerlint´egraleJlculerlvipourcaelni´tgear´eemodthlaaremmˆiuqeresaeuqellecp I; il vient :   1 ln(2π) J= 1. 2 2
SoitKe:vantesuigrale´tnil
Z arctant K=dt . π t e+ 1 0
Calculdelinte´graleK: 17.Calculerlinte´graleK´esultatobtenupo,snetulisinaltreien´e,dsues-dcilru´tniargeelIet la valeuradmisepourlint´egraleJ.
` FIN DU PROBLEME
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