CCMP 2004 mathematiques i classe prepa psi

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A 2004 Math PC 1 ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.ECOLE POLYTECHNIQUE (Filiere TSI).CONCOURS D’ADMISSION 2004 PREMIERE EPREUVE DE MATHEMATIQUESFiliere PC(Duree de l’epreuve : 3 heures)(L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).Sujet mis a la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP.Les candidats sont pries de mentionner de fa con apparente sur la premiere page de la copie :MATHEMATIQUES 1-Filiere PC.Cet enonce comporte 5 pages de texte.Si, au cours de l’epreuve, un candidat repere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’enonce, il le signalesur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amene a prendre.Ce probleme met en evidence par une methode originale une propriete et une methode de calcul dela moyenne et de la variance bien connues en Probabilites.Soit S l’ensemble des suites reelles U = (u ) dont tous les termes u sont positifs ou nuls et lan nn∈Nsomme egale a 1 :( )∞XS = U |U = (u ) , ∀n, u 0, u = 1 .n n nn∈Nn=0Soit F l’ensemble des fonctions reelles f qui sont des sommes de serie entiere de rayon de convergenceR superieur ou egal a 1 ; ces series entieres sont convergentes lorsque le ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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A 2004 Math PC 1
´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Filie`reTSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2004
` ´´ PREMIERE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Filie`rePC (Dure´edele´preuve:3heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujetmis`aladispositiondesconcours:CycleInternational,ENSTIM,INT,TPE-EIVP.
Lescandidatssontpri´esdementionnerdefac¸onapparentesurlapremi`erepagedelacopie: ´ MATHEMATIQUES1-Filie`rePC.
Cete´nonc´ecomporte5pagesdetexte.
Si,aucoursdele´preuve,uncandidatrep`erecequiluisembleeˆtreuneerreurd´enonce´,illesignale sursacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilestamene´`aprendre.
Ceproble`memeten´evidenceparuneme´thodeoriginaleunepropri´et´eetunem´ethodedecalculde lamoyenneetdelavariancebienconnuesenProbabilit´es.
SoitSensllleeestius´rselbmesedeU= (untous les termes) dontunsont positifs ou nuls et la nN somme´egale`a1: ( ) X S=U|U= (un),n, un0, un= 1. nN n=0 SoitFonctdesfmbleensellse´reeoisnlfqiuessdmeomssdentsoredere`itneeire´yanoedocvnreegcne Regtnvnresruqseol´eelelersup´erieurou´e`lagc;1a´sseeirentseeri`soescontxelte1a`lemmosru´egaest vaut1encepoint;touteslesd´erive´esdesfonctionsfen 0 sont positives ou nulles : ( ) ∞ ∞ X X n(n) F=f|f(x) =anx ,an= 1, R1,n, f(0)0. n=0n=0 ` A une suiteU= (unppraa,)aneta`tnSi´oclaeencfoontise,ssatfationsuivante:de´neiaplrrale nN X n f(x) =unx . n=0 b Soitjplaplnaioatic´deniisin:eU7f=j(U) ; la fonctionj(Ueenot´)estU.
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Propri´et´esdesfonctionsdeFet des suites deS: 1.D´emontrerquetoutefonctionf,blensemquitrappaiela`tneF,est, sur l’intervalle ouvertI= ]1,u,[1ofen0[tneed´menitincinonbaelc,ortn´dreviurlesegmissantes,1] et convexe sur l’intervalle semi-ouvert [0,1[.
2.D´emontrerquetoutefonctionf,aptriupaa`leitnlembseenqF,ga`eunit1neehcua.ontces
q Exemples :soientG, EetVrseltalesnoiviusteui´esdienarsplsertioss:snaet n+1 Glare´ne´gemretequedetrieom´teg´saiuseltgn= 1/2 :   1 G=. n+1 2 nN q ´ iernaturn´eunenttEnadtnoleq, Eest la suite dont tous les termes sont nuls sauf le terme de rang q`a1:lage´
q E= (0, . . . ,0,1,0,∙ ∙ ∙). V= (vnesrelationssuivatnse:)elastitsueredlee´e´dseinlrap nN  ! 1 X a1 v0= 1/pour2 ;n1, vn= aveca= 2. 2 2 n n n=1 q q b cq 3. Montrerque les suitesG, EetVsont dansS.imrelrente´DimesesagG=j(G), E=j(E) q b b des suitesGetE´ceaelculerlad´eriv;Vla fonction´ deV=j(V) image de la suiteV; puis donner b l’expression deV(xtne´nuieeddlia)`ae.algr
4. Soitfnetrappanoitcnofnnae`tulaesnmelbeF. D´emontrerque,silafonctionfest nulle en 0 (fla fonction(0) = 0),fegaloit´e`atss,exsur le segment [0,1],´eorarepctristitajtmenemosxsur l’intervalle ouvert ]0,1[ (0< x <1 =f(x)< x).
De´montrerque,silafonctionfest strictement positive en 0 (f(0)>0),oinuqtale´
f(x) =x a, dans l’intervalle ouvert ]0,1[, au plus une solution.
5.D´emontrerque,pourtoutesuiteUlbesnmeenrtpaapealt`anS,la fonctionj(U)atienptp`aar l’ensembleF.lpaqreutnere´omDnioaticpljest une application bijective de l’ensembleSsur l’ensemble F.
Une loi de composition dans l’ensembleS: ´ Etantdonn´eesdeuxsuitesU= (un) etV= (vnnatearppenl`antesbmela)S,soitUVla nNnN suite, dont les termeswn,nNn´epaisarrlatels,dtnoe:ntvauinsio n X wn=upvnp. p=0 6.De´montrerquelasuiteUV= (wniasn)paapiert´eidienbmesela`tnnelS. nN
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7.De´montrerqu´etantdonne´esdeuxsuitesUetVdeS,colaosmpe`´aeUVde ces suites correspond par l’applicationjle produit des fonctionsj(U) etj(V) : \b b j(UV) =j(U)j(V) ouUV=V .U .
8.D´emontrerquelaloidecompositionvetiiaocl´´eun,auentnemetseteertenid´edssce-iatsssuse commutative.
´ Etantdonn´esunr´eelp, strictement compris entre 0 et 1 (0< p <lee´rnute)1λstrictement positif, p pλ soientB ,niesd´euitelessteΠΓtnav:eelsdanameri`uies p p p Best la suite dont tous les termesnβ ,N,sont nuls sauf les deux premiers :β= 1pet n0 p β=p: 1 p B= (1p, p,0,0, . . .).
p pn em´gtereetitdsealΓusralen´eγ= (1p)p,nN: n
p n Γ =((1p)p). nN
n λ λλλ mrgee´´niuetedetastlesΠeralπ=e,nN: n n!   n λ λλ Π =e . n! nN
Produit de compositionde chacune de ces suitesqelecavismeˆe-mle:of p pλ 9.De´montrerquelestroissuitesB ,ntnel`aseenlembΓeΠtappraitneS.´Dreteseengiammuieslrr cpcpcλ B ,Π parl’applicationΓ etj. ´ pq pq λq 10.Etantdonne´unentiernaturelqetd´miersipof,tietcitnemrtstiseenlrseusB ,ΠΓ et p pλ obtenuesrespectivementa`partirdessuitesB ,Γ etcompositionΠ parqsiceresivaofelec-mlemeˆer´.P pq pq λq lestermesdecessuitesnot´esrespectivementβ,γetπ ,nN. n nn
λ q q Pourunr´eelλsulaeitnod,e´nimiledetBlorsque l’entierqrslıtvei.innrcˆo
11.Lere´elstrictementpositifλdosteitresquelennn´e;lorqest suffisamment grand, le rapportλ/q estunre´elstrictementcomprisentre0et1. De´terminer,pourtoutentiernuidmeiltmarle,te´xe
λ q λ qq βnde rangnde la suiteB , q λ λ lorsque l’entierqetmredudecroˆıtverslE.innicremirpxmiliteetail`ateπde rangnde la suite Π. n
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