CCMP 2004 mathematiques ii classe prepa psi

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A 2004 Math PSI 2 ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.ECOLE POLYTECHNIQUE (Filiere TSI).CONCOURS D’ADMISSION 2004 SECONDE EPREUVE DE MATHEMATIQUESFiliere PSI(Duree de l’epreuve : 3 heures)(L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).Sujet mis a la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP.Les candidats sont pries de mentionner de fa con apparente sur la premiere page de la copie :MATHEMATIQUES 2-Filiere PSI.Cet enonce comporte 4 pages de texte.Si, au cours de l’epreuve, un candidat repere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’enonce, il le signalesur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amene a prendre.Le but de ce probleme est l’etude de deux suites reelles F = (f ) et G = (g ) et des seriesn nn∈N n∈Nn nentieres de termes generaux (f x ) et (g x ) .n nn∈N n∈NSoient F = (f ) et G = (g ) les deux suites reelles denies chacune par leurs deux premiersn nn∈N n∈Nelements et la mˆeme relation de recurrence ci-dessous :F : f = 0, f = 1, pour tout entier naturel n, f =f +f ;0 1 n+2 n+1 nG : g = 2, g = 1, pour tout entier naturel n, g =g +g .0 1 n+2 n+1 nSoit M l’espace vectoriel des matrices carrees reelles ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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A 2004 Math PSI 2
´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Fili`ereTSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2004
´ ´ SECONDE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Filie`rePSI (Dure´edele´preuve:3heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujetmis`aladispositiondesconcours:CycleInternational,ENSTIM,INT,TPE-EIVP.
Lescandidatssontpri´esdementionnerdefac¸onapparentesurlapremi`erepagedelacopie: ´ MATHEMATIQUES2-Filie`rePSI.
Cet´enonce´comporte4pagesdetexte.
Si,aucoursdele´preuve,uncandidatrep`erecequiluisembleˆetreuneerreurd´enonc´e,illesignale sursacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilestamen´e`aprendre.
Lebutdeceproble`meestl´etudededeuxsuitesre´ellesF= (fn) etG= (gn)edtse´sreeis nNnN n n entie`resdetermesge´n´eraux(fnx) et(gnx) . nNnN
SoientF= (fn) etG= (gneuxpremiearrsleursdhccanupe´deinseeer´esllsuuxesitledse) nNnN ´el´ementsetlameˆmerelationdere´currenceci-dessous:
F:f0= 0, f1= 1,pour tout entier natureln, fn+2=fn+1+fn; G:g0= 2, g1= 1,pour tout entier natureln, gn+2=gn+1+gn. SoitM2llse´reerd2edroent;soilesecaptceveirosedltrmaesicrrcaes´eIee´tinuettriclamaJla matricecarr´eede´niesparlesrelationssuivantes:    1 00 5/2 50 1 I= ;J= =. 0 15/02 02 1 Pour tout entier natureln,soitUnrtamaltn:eiuavoisnletarlariepa´eniced 1 Un=fnJ+gnI. 2   1 SoientUla matriceU1U=U1=J+IetEle sous-espace vectoriel deM2sdlearepxeu´rdnegne 2 matricesIetJ.
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Premi`erepartie
Lebutdecettepartieestl´etudealterne´edesdeuxsuitesdere´elsetdelasuitedesmatrices;elle permetdobtenirdesr´esultatspre´liminaires. Quelquesproprie´te´s: n n 1.D´emontrerquelasuitedesmatrices(U) ,ou`Uest la matriceUecnass´eevel´uiapale`n, nN 0 (avec la convention habituelleU=Iirotlet`enealacspecev)a,ppraitE. ´ 2. Etablirla relation qui, pour tout entier natureln,lie les matricesUn+2, Un+1etUn. Caract´erisationdelasuitedematrices(Un)´enssencqeuquelcoesuq;: nN p 3. Comparer,pour tout entierpcompris entre 0 et 2 (0p2) les matricesUpetUr.Dmo´erent n qu’il existe, pour tout entier natureln, une relation simple entre les matricesUnetU . 4.De´duiredesdeuxre´sultatspr´ec´edentslesrelationssuivantes: n2 2n pour tout entier natureln,detUn= (1),(gn)5 (fn) =4 (1).
´ 5.Etantdonne´sdeuxentiersnaturelspetq,exprimer les termesfp+qetgp+qdes suitesFetGen fonction des termesfp, gp, fqetgqeecdmseˆemssiuet.s Inverse des matricesUn: 6.De´terminerlinversedelamatriceUnen fonction des matricesIetJ. Exprimerles coefficients des matricesIetJaildede`ae´rsslefnetgn. Despolynˆomesannule´sparlamatriceU Soit, pour tout entiern,l`a2´egauorueire´pusPn(Xalraalernoitviustean:)lenpidee´ˆnmoopyl n Pn(X) =XfnXfn1. 2 7.De´montrerquelepolynˆomePn(Xse)bisividteprlpalemeˆoynolXX1. 8.Quelestlepolynˆomecaract´eristiquedelamatriceU? n 9. Calculerla valeur de la matriceCn=UfnUfn1I.
n 2n n2 Divisibilite´dupolynˆomeXgnX+ (1)parXX1: Soit toujoursnou´eieura2.gal`neitnu´prereus 10.De´terminerlepolynˆomecaract´eristiquedelamatriceUn:te.End´eduireeralitalusnonavi
2nn n UgnU+ (1)I= 0.
2n 11. SoientQetRlypoomnˆendiduneetuaneecusenbtencuiloienvisiltdaosemoˆnylopselXn n2 gnX+ (nˆomearlepolyp)1XX1 :   2n nn2 XgnX+ (1) =Q(X)XX1 +R(X). Pr´eciserlesdegr´esdespolynˆomesQetR. 2n De´montrer,enutilisantparexemplelesr´esultatsdelaquestionpr´ec´edente,quelepolynoˆmeXn n2 gnX+ (1) estdivisible parXX1.
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Deuxi`emepartie
Lebutdecettepartieestle´tudedepropri´et´esdesuitesconstruites`apartirdesdeuxsuitesFetG.
Un calcul de sommes : 12. Lebut de cette question est de calculer, pour tout entiern(2a`lage´uorueriesup´n2), des expressions plus simples des deux expressions suivantes :
n X αn=f0+f2+. . .+f2n=f2k. k=0 n X βn=g0+g2+. . .+g2n=g2k. k=0 De´terminerlesexpressionsdeαnet deβnen fonction respectivement def2n+1et deg2n+1en con-sid´erantparexemplelamatriceSnsuontilarelaarepine´det:vina n X Sn=U0+U2+. . .+U2n=U2k. k=0
SoitTla suite (tnepnilear)ed´tes:snusvinarsletaoi nN
t0= 1, t1= 4,pour tout entier natureln, tn+2= 4tn+1+tn. D´eterminationdese´l´ementstnde la suiteTedede´rssle`aailfnetgn. 6 32 13.D´emontrerquelepolynˆomeX4Xeparlepolynˆomee1tsidivislbXX1.
14.Ende´duirequelamatriceUernaentilturei,e´vreottuoprup,la relation suivante :
6+p3+p p U= 4U+U .
15.D´eduiredelarelationpr´ece´dentequelestermesdessuitesFetGre´vitreutenurtot,poien naturelp,les relations suivantes :
f6+p= 4f3+p+fp,
g6+p= 4g3+p+gp.
16.D´eduiredesr´esultatspr´ece´dentslexpressiondutermeg´ene´raltnde la suiteT ,raelinpeed´s relations suivantes :
t0= 1, t1= 4,pour tout entier natureln, tn+2= 4tn+1+tn, en fonction de termes des suitesFetG.
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