CCP 2001 mathematiques 2 classe prepa mp

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MP006 SESSION 2001 CONCOURS COMMUNS POlYlECHNlQUEf ÉPREUVE SPECIFIEE - FILIÈRE MP MATHÉMATIQUES 2 DURÉE : 4 heures Les calculatrices progrmnnzables et alphnnume’riques sont autorisées, sous réserve des conditions définies dms la circulaire ~1~99-186 du 16/11/99. UTILISATIONS DES MATRICES COMPAGNON Notations et définitions : Dans tout le problème K désigne lR ou c et iz est un entier naturel. Si u est un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E. on note u” = id, et Y~EN, c(‘l+’ = CI” 0 u . On note K,i [X] la K-algèbre des polynômes de degré inférieur ou égal à IZ, %Y,! (K) la K-algèbre des matrices carrées de taille II à coefficients dans K de matrice unité Z,, et GL,, (K) le groupe des matrices inversibles de %Yl, (K) ; les éléments de W,, (K) sont notés M = (172, i) . Pour une matrice A de W,? (K), on note ‘A la transposée de la matrice A, rg(A) son rang, son polynôme caractéristique et SP(A) l’ensemble de ses valeurs propres. X~ = det(A - X Z,, ) Si P = X ” + a,,-, X “-’ + . ..+ n, X + no est un polynôme unitaire de K,! [X] on lui associe i 0 1 0 . . 0 -ao -n, 0 1 0 . 0 -a2 la matrice compagnon C, = E w,, 0-Q. 0 1 . -a,,-2 - a,,-, i 0 . . 0 . 0 1 . (c’est-à-dire la matrice C, = (ci j) est définie par ci j = 1 pour i- j = 1 , cin = -ni-l et c;j = 0 dans les autres cas). Les parties II. III. et IV. utilisent les résultats de 1~1 yortie 1. et sont indépendantes entre elles. Tournez la page S.V.P. 1. Propriétés générales Dans cette partie on ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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