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SESSION 2003PSIM105 EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE PSI ______________________ MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. **** N.B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. **** Dans tout ce problème, on désigne parµune application continue2π périodique deRdansRet on considère l’équation différentielle : (E)y′′ +y=µ(t)µ On désigne parsurR(E) qui vérifie en outre les relationsϕ(0)=ϕ0)=0 . ϕµla solutiondeµµ µ PourxR, on note : xx ( )=µ( )=µ Gµx tcost dt etHµ(x) (t)sint dt 00 Dans la partie I, on étudie quelques propriétés de la fonctionµ. Dansla partie II et la partie III, on étudie un exemple explicite. PARTIE I On désigne parFµ la fonction définie surR parFµx)=(sinx)Gµx)(cosx)Hµ(x). Tournez la page S.V.P.
 2 Pour simplifier les notations, on écriraF, G,H,ϕ pourdésigner les fonctions ϕ. F,G,H, µ µµµ I.1Justifier la dérivabilité deG,Hdonc etF. PréciserF(0) etF(0). 2 I.2que MontrerF est de classeCsurR et exprimerF′′x)+F x) en fonction deµ(x). I.3l’affirmation JustifierF=ϕ. I.4 Etudedu caractère2 périodique deϕ. I.4.1Calculer la dérivée deG(x+2π)G(x) etH x+2π)H(x). I.4.2ExprimerG(x+2)G(x) en fonction deG(2π) etH(x+2)H(x) en fonction deH2π). I.4.3 Exprimerϕ(x+2)ϕ(x) en fonction desinx, cosx,G(2π),H(2π). I.4.4quelle condition nécessaire et suffisante portant sur AG(2π)etH(2π) la fonctionϕ estelle2 périodique ?  I.4.5estelleLa fonction2 périodique lorsqueµt)=sintlorsque? (resp. µ(t)=cost?)  I.4.6La fonctionϕbornée lorsque estelleµ(t)=sintlorsque? (resp. µ(t)=cost?)  I.4.7Montrer que la fonctionϕ est2 périodique lorsqueµ(t)=sint.  I.4.8Les fonctionsϕ,, etϕ sontelles bornées lorsqueµ(t)=sint? Dans toute la suite du problème, on suppose queµ(t)=sint. PARTIE II t Calcul deeϕ(t)dtR+ t II.1Justifier l’intégrabilité surR+ dela fonctiont!esint. (n+1)π t II.2PournN, on notev=esint dt. nπ n II.2.1 Calculerv. 0  2 
 3 II.2.2 Montrerqu’il existe un nombre réelρtel que (quel’on explicitera) n  pourtoutnN, onaitv=ρv. n0 +∞ II.2.3déduire la convergence de la série Env etexpliciter sa sommev. nn n0n=0 t II.2.4déduire la valeur de l’intégrale Enesint dt. R+ II.3 II.3.1des résultats obtenus dans la partie I (en particulier de DéduireI.4.8) que les ttt ϕ( )ϕ( )ϕ′′) fonctionst!e t,t!e t ett!e tsur sont intégrablesR+. tt II.3.2Etablir une relation entree µ(t)dt eteϕ(t)dt. R+R+ t En déduireeϕ(t)dt. R+ PARTIE III Développement de Fourier des fonctionsµ. et Sif est une application continue2 périodique deRdansR,on désigne para(f) etb f)n n les coefficients de Fourier réels def: 1 1 2π2π a(f)=f(t)cos(nt)dt etb(f)=f(t)sin(nt)dt pournN. 00 n n π π Lorsqu’elle converge, on désigne parSF(t) la somme de la série de Fourier : f +∞ a(f) 0 fn n SF(t)= +a(f)cos(nt)+b(f)sin(nt). 2 n=1
III.1  III.1.1 Justifierla convergence de la série de Fourier de la fonctionµ(rappel :µ(t)=sint). III.1.2la convergence de la série de Fourier de la fonction Justifierϕ(rappel :ϕ′′(t)+ϕ(t)=sint,ϕ(0)=ϕ(0)0). III.2 Série de Fourier de la fonctionµ.
III.2.1les coefficients Calculera(µ) pournN. Quelle est la valeur des coefficients n * b(µ) pournN? n +∞ 11 III.2.2.et expliciter sa somme Etablirla convergence de la série 22 p1(4p1)p=14p1  3  Tournez la page S.V.P.
 4 1 III.2.3la convergence de la Etablirsériecalculer sa somme et 2 2 (4p1) p1 +∞ 1 2 . 2 (4p1) p=1 III.3 Série de Fourier de la fonctionϕ. III.3.1Etudier la parité des fonctionsG,H puis celle de la fonctionϕest la. Quelle * valeur des coefficientsb( ) pournN? n III.3.2une relation entre Etablira(ϕ′′) eta(ϕ) pournN. n n III.3.3déduire la valeur de Ena( ) pourn1. n III.3.4 Calculera(ϕ). 1 1 2 4 III.4la convergence de cette série et. JustifierOn considère la série () () p14p1 16p1 +∞ 1 expliciter sa sommeen calculant l’intégrale duII parun autre procédé 2 4 p1(4p1) (16p1) = qu’on justifiera soigneusement. 2 III.5On considère dans cette question l’applicationde classeC deR dansR vérifiant : φ′′(t)+(t) (t) pour touttR etφ(0)=φ(0)=0. III.5.1 Lafonctionφ estelle2π périodique ? III.5.2fonction Laφbornée sur estelleR?t  III.5.3La fonctiont!e(t)estelle intégrable surR+? Fin de l'énoncé.
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