CCP 2003 mathematiques 2 classe prepa mp

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SESSION 2003 EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MP _______________________ MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites. * * * NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. Calculs de distances entre une matrice et certaines parties de M ! ( )n Notations Dans ce sujet, n est un entier naturel non nul et on note : M ! : la ! -algèbre des matrices carrées réelles d’ordre n. ()nM ! : le ! -espace vectoriel des matrices à n lignes et à une colonne. ()n,1tPour une matrice A de M ! , A est sa matrice transposée, rang (A) son rang et Tr (A) sa trace. ()nI : la matrice unité de M ! . ()nnS ! : le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de M ! . () ( )n nA ! : atrices antisymétriques de M ! . () ( )n n+S ! : l’ensemble des matrices positives de S ! c’est-à-dire des matrices A de S ! () ( ) ( )n n ntvérifiant : pour toute matrice X ∈M ! , X A X ≥ 0 . ( )n,1GL (! ) : le groupe des matrices inversibles de M ! . ( )nnO ! : le groupe des matrices réelles orthogonales c’est-à-dire des matrices M de M ! () ( )n ntvérifiant : M M = I . nPour p entier naturel, ∆ est l’ensemble des matrices de M ! de rang ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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SESSION 2003
EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MP _______________________ MATHEMATIQUES 2
Durée : 4 heures
Les calculatricessontinterdites. * * * NB :Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.Calculs de distances entre une matrice et certaines partiesdeMn(!)Notations Dans ce sujet,nest un entier naturel non nul et on note : Mn(!):!gèbre des matrices carrées réelles d’ordren. la al : leespace vectoriel des matrices ànlignes et à une colonne. Mn,1(!)! t Pour une matriceAdeM(!),Aest sa matrice transposée, rang(A) sonrang et Tr(Atrace.) sa n I: la ma ntrice unité deMn(!).Sn(!):le sousespace vectoriel des matrices symétriques deMn!). An(!)e sousespace vectoriel des matrices antisymétriques deMn(!). : l + : l’ensemble des matrices positiveses matricesA de Sn(!) deSn(!) c’estàdiredSn(!)t vérifiant : pour toute matriceMn,1(!),X AX0 .GL (!) : le groupe des matrices inversibles deMn!).n On(!): le groupe des matrices réelles orthogonales c’estàdire des matricesM deMn(!)t vérifiant :M M=I. n Pourpentier naturel,est l’ensemble des matrices deMn!)de rang supérieur ou égal àpet p est l’ensemble des matrices deMn!)de rang inférieur ou égal àp. p
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Objectifs Le but du sujet est de calculer la distance (par la norme de Schur définie à la question II.3.) d’une matrice à : dans la partie II.,Sn(!)etAn(!)par le théorème de projection orthogonale, par le théorème de décomposi dans la partie III.,On(!)tion polaire, dans la partie IV.,par des notions de densité, p dans la partie V.,par le théorème de Courant et Fischer. p La partie I. traite un exemple qui sera utilisé dans les différentes parties. Remarque : dans le texte, le mot « positif » signifie « supérieur ou égal à 0 ». I. Exercicepréliminaire 1 2 1  t 1.Soit la matrice2 1 1deM3!),on poseH. Γ =− −Γ= Γ   112   Diagonaliser la matriceHet atriceP déterminer une mdeO3(!)et une matrice diagonaleDà 21 termes tous positifs telles queD=P HP. 1+ 2. On poseS=P D PS3(!), montrer que la relationΓ =U Sune matrice définit UO(!)et calculer cette matrice. 3 II.de la distance de CalculAàSn(!)et àAn(!)t 3.SoitAetBdeux matrices deMn(!),on pose(A B)=Tr(A B). init ainsi un produit scalaire sur Montrer que l’on défMn(!).1 La norme associée à ce produit scalaire (norme de Schur) est notée :A=((A A))2. Dan esrtie non vide deMn(!),la dista s tout le sujet, siΠ tnce d’une matriceune paA de Mn(!)a partieΠest le réeld(A,Π)=infAM. à l M∈Π 4. MontrerqueMn(!)Sn(!)An!)et que cette somme directe est orthogonale. = 1t 5. SiAune matrice de estMn(!), montrer qued(A,Sn(!))(A A) = −déterminer de et 2 mêmed(A,A(!)). n 6.d( ,3( ) CalculerΓA!) oùΓest la matrice exemple de la partie I.
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III. Calcul de la distance deAàOn(!)A.de la décomposition polaire Théorème + 7.Montrer qu’une matriceSdeSn(!)appartient àSn(!)si et seulement si toutes les valeurs propres deSsont positives ou nulles. t+ 8. SiAest une matrice deMn(!)montrer que lamatriceA ASn(!). 9.SoitAmatrice de une( suppose Mn!), onqu’il existe une matrice diagonale t2 D=diag (d,d, ...,d) àtermes positifs telle queA A=D. 1 2n On noteA,A,...,Ade nles matricesMn,1(!)qui forment les colonnes de la matriceA. 1 2 t a.( Pour tout couplei,j) d’entiersnaturels compris entre 1 etn, évaluerA A. i j  Enparticulier, siiest un entier pour lequeld=0 ,que vautA? i i b.orthonormée (M baseE,E, ...,E) ontrer que l’on peut trouver une1 2n deM(!) (par n,1 t rapport au produit scalaire canoniqueX,Y=X Y deM(!)) telle que, pour tout n,1 entier naturelientre 1 etn,A=d E. i ii c. En déduire qu’il existe une matriceEdeOn(!)telle queA=E D. t t 10.SoitAetBdeux matrices deMn(!)antA A=B B. vérifi a.Montrer qu’il existe une matrice diagonaleDà termes positifs et une matrice orthogonaleP1t1t2 telles que :A PP A=P BB P=D. b.Montrer qu’il existe une matriceUdeOn(!)telle queA=U B. 11.Déduire des questions précédentes le théorème de décomposition polaire : Pour toute matriceA deM(!),il existe une matriceU deO(!)et une matriceS de n n + S(!)telles queA=U S. n + emarque : on peut également établir l’unicité de la matriceSmêmede et (RSn(!) l’unicité de la matriceUdeOn(!)siAest de plus inversible dans cette décomposition mais ce ne sera pas utile pour la suite du problème). B. Calculded(A,O(!))n 12.Montrer que, pour toute matriceM deMn(!)et pour toute matricedeO(!),n MΩ = ΩM=M.
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+ ∈ ∈ 13.Dans la suite de cette partie, soitAune matrice deMn(!), soitUOn(!)etSSn(!)telles queA=U S; il existe une matrice diagonaleDet une matricePdeO(!)telles que n 1 S=P D P. 1 a.que, pour toute matrice Montrer deO(!),A=− ΩSUen déduire que et n )=d(S, ). d(A,On(!)On(!) b. Montrerqued(A,O(!))=d(D,On(!)). n 14.On noteD=diag (λ,λ, ...,λ) . 1 2n n 2 2 On(!)i a. Montrer que pour toute matricede ,D− Ω= λ2 Tr (D)+n. i=1 n On(!), (D). b. Montrerque pour toute matricede TrλΩ ≤ i i=1 c. Conclure qued(D,IOn(!))=Dn. = − 15.Montrer qued(A,On(!))A U. 16.Calculerd(Γ,O3(!)) oùΓest la matrice exemple de la partie I. IV. Calcul de la distance deAàp 17.Un résultat de densité. lément d a. SoitMun éeMn(!), montrer qu’il existe un réel>0tel que pour tout réel vérifiant0< λ < α, la matriceM− λIest inversible. n b. Endéduire que GL ( n!) est dense dansMn(!). 18.SoitAun élément deMn(!), déterminer, pour tout entier naturelpn,d(A,).p V. Calcul de la distance deAàpA. Théorèmede Courant et Fischer SoitA unSn!.1 2n e matrice de( )On noteraλ ≥λ ≥...≥ λ sesvaleurs propres, on notera t D=diag (λ,λ, ...,λ) ,Pmatrice de laO(!)vérifiantA=P DP etC,C, ...,C les 1 2nn1 2n matri nesde la matriceP. ces deMn,1(!)formant les colon
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ktoriels deMn,1(!)de Sikest un entier entre 1 etn, on noteΨl’ensemble des sousespaces vec dimensionk. Nous allons montrer que : t X AX λ =max min (théorème de Courant et Fischer). k t F∈ΨXF{0} X X k 19.SoitXvecteur de unMn,1(!)de coordonnées(x1,x2, ...,xn) dansla base orthonormée ( ,, ...,n)M,1(!).ction desx etλ (ientre 1 et comprisn) : C CC deCalculer en fon 1 2ni i t t tCkA Ck X AXetX Xet pourkentier entre 1 etn, . t C C k k = 20.Soitkentier entre 1 etn, on poseFkvect{C1,C2, ...,Ck}. t t X AX XA X Montrer que pour toutXnon nul deF,≥ λet déterminermin. k k t t XF{0} X XX X k 21.SoitF∈ Ψk, a. montrer que dim (Fvect{C,C, ...,C}) k k+1n1. t X AX b. SiXest un vecteur non nul deFvect{C,C.C, montrer que≤ λ. k k+1, ..,n}t k X X 22.Conclure. B. Calculded(A,)p Dans toute cette partie:Aest une matrice deM(!)de rangretpest un entier naturel,. n 23.Montrer qu’il existe deux matricesE etP deOn(!)et une matrice diagonaleDtermes à t positifs telles queA=E D P. En déduire que le rang de la matriceA Aest encorer. (On pourra utiliser les résultats de la question9.)t 24.Si on note les valeurs propres de la matrice symétrique réelleA A derangr: µ ==(µ,µ, ...,µ,, µ ≥µ ≥...>≥ µ0et+...= µ=si on pose0 ,Ddiag1 2r0, ..., 0) 1 2r r1n ice dedon si pour1ln onnoteMmatr laMn(!)t lalième colonne est celle de la l la question23., tous les autres termes deM étantnuls, on a matriceEOn(!) del n clairement :E D= µM. l l l=1 Montrer alors qu’il existe une famille orthonormale(R,R, ....,Rmatrices de) deM(!)1 2nn t (pour le produit scalde tesde rang un, et telles que aire (A B)=Tr (A B)Mn(!)), tou n r A= µR=µR.l ll l l=1l=1 Tournez la page S.V.P.
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p e= µ 25.Avec les notations de la question24,on posNlRl. l=1 ≤ µ+ + Montrer que rang(N)ppuis qued(A,)p+1...µr. p ≥ α≥ ≥α ≥ 26.SoitMune matrice de rangp(p<r) , on noteα1 2...nvaleurs propres de la0 les t t matrice (AM) (AM) et on poseG=KerMIm(A A) . Soitkun entier compris entre 1 et. a. Montrer que dimGrp. b.SoitFun sousespace vectoriel deGde dimensionk, montrer que : t t X AA X α ≥min. k t XF{0} X X nt c.On note(V,V, ...,V)une base de!formée de vecteurs propres de la matriceA A, le 1 2n vecteurVétant associé à la valeur propreµde telle sorte que:µ ≥µ ≥...≥ µ>0et i i1 2r µ =...= µ=0 . r+1n { ,, ..,V} )k.  Montrerque dim(GvectV1V2.k+p d.déduire que Enα ≥µ. k k+p 27.En déduired(A,p). ,=d(Γ,) oùΓ 28.Calculer, pourp{0, 1,2, 3}p pest la matrice exemple de la partie I. Fin de l’énoncé.
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