CCP 2003 mathematiques 2 classe prepa psi

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SESSION 2003 PSIM207 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI ______________________ MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisØes. **** N.B. Le candidat attachera la plus grande importance la cl artØ, la prØcision et la concision de la rØdaction. Si un candidat est amenØ repØrer ce qui peut lui sembler Œtre une erreur d’ØnoncØ, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il a ØtØ amenØ prendre. **** On désigne par N l’ensemble des entiers naturels, par N* l’ensemble N privé de 0 et par R l’ensemble des nombres réels. Etant donné un entier naturel n , on note [[0,n]] l’ensemble des entiers naturels k tels que 0≤ k ≤ n . On note R[]x l’espace des polynômes à coefficients réels et, pour k∈ N , on note R []x le sous kespace de R[]x des polynômes de degré inférieur ou égal à k. On identifiera le polynôme P∈ R[]x avec la fonction polynôme associée. On note C l’espace des fonctions continues définies sur l’intervalle [−1,1] et à valeurs dans R , on note R l’espace des restrictions à []−1,1 des polynômes de R[x] et on note R l’espace des krestrictions à []−1,1 des polynômes de R [x] . Par abus, on appellera polynôme une fonction de kR. Le but du problème est de définir une méthode de calcul approché d’une famille d’intégrales. Dans la partie I, on étudie ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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SESSION 2003PSIM207 EPREUVE SPECIFIQUE  FILIERE PSI ______________________ MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. **** N.B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil a été amené à prendre. **** On désigne parNl’ensemble des entiers naturels, parN*l’ensembleNpar0 et privé deRl’ensemble des nombres réels. Etant donné un entier naturelnnote, on[[0,n]] l’ensembledes entiers naturelskque tels 0kn. On noteR[x] l’espace des polynômes à coefficients réels et, pourkN, on noteR[x] le sous k espace deR[x] despolynômes de degré inférieur ou égal àkidentifiera le polynôme. On PR[x] avec la fonction polynôme associée. On noteC l’espace des fonctions continues définies sur l’intervalle[1,1]à valeurs dans etR, on noteRdes restrictions à l’espace[1,1] des polynômes deR[x] et on noteR l’espace des k restrictions à[1,1] despolynômes deR[x]abus, on appellera polynôme une fonction de. Par k R. Le but du problème est de définir une méthode de calcul approché d’une famille d’intégrales. Dans la partie I, on étudie une famille de polynômes. La partie II utilise une structure d’espace préhilbertien réelde l’espaceCobtenir une formule de calcul exacte de certaines intégrales., pour La partie III conduit à la méthode de calcul approché annoncée.
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Dans tout le problème,n désigne un entier naturel. Pour tout entiernN, on définit la fonction tCpour tout par :x[1,1],(x)=cos(n Arccosx). nn PARTIE I 1.Simplifier les expressions de, et, ,constater que ces fonctions ont des expressions 0 1 2 3 polynomiales, que l’on explicitera. 2.Tracer, sur un même dessin, les graphes de0,1,2et3. Préciser les racines et les extremums de chaque fonction. 2k+1 PournN*etk[[0,n1]], on noteθ=π etx=cos (θk). kk 2n 3.PournN*. Montrer que les racines de, déterminer les racines de la fonctionn sont n deux à deux opposées. 4.On suppose l’entiern2. Soitp[[1,n1]]. n1 ipθ k 4.1Calculer la sommee. k=0 n1 4.2Montrer que( )=0 tpxk. k=0 Pourx[1,1], le changement de variable bijectifθ=Arccosx, permet d’écrire(x)=cos (nθ) n avecθ[0,π]. Pourx)+(x) 5.n1, exprimern+1(n1en fonction dex et de(x). n 6.En déduire que pour toutnN, la fonctionest la restriction à l’intervalle[1,1] d’un n polynômeT deR[x]. Préciser le degré deT etle coefficient de son terme de plus haut n n degré. 7.Montrer que pour tout entiern1, lepolynômeTn n’a pas de racine complexe non réelle. PARTIE II f(x) 1.Soitfune fonction deCque la fonction. Montrerx! est intégrable sur]1,1[. 2 1x n 1 x 2.PournN, on noteI=dx. 1 2 n 1x  2 
2.1CalculerI etI. 01 nI I 2.2Pour2, donner une relation entren etn (on pourra, entre autre méthode, utiliser 2 le changement de variableθ=Arccosx). I 2.3En déduire les valeurs deI etIest la valeur de. Quelle2p+ pourpN? 241 3.Définition d’une structure préhilbertienne réelle surC. f(x)g x) 1 3.1Montrer que l’application deC×C dansR définie par(f,g)!<f g> =dx1 2 1x définit un produit scalaire surC . 3.2, pourMontrer que la famille de fonctionp0,n]], est une base orthogonale de p l’espace vectorielR. n  Calculerla norme de chaque fonction. p 3.3Déduire de ce qui précède que, pour toutn1tout etk[[0,n1]]on a , k xt(x) 1 n dx=0. 1 2 1x 4.On veut monter qu’il existe trois réelsa,a,a uniques, tels que pour tout polynômePR, 0 1 25 on a 1   p(x)3 3    (1)dx=a P+a P(0)+a P. 1 2 0 12 2 2 1x   4.1On suppose que l’égalité (1) est satisfaite par toutPR. En prenant successivement les 5 2 polynômesPdéfinies parP(x)=1,P(x)=x,P(x)=x, déterminer les réelsa,a,a. 0 1 2 4.2Montrer que le triplet(a,a,a)convient pour les polynômes trouvéPpar définies 0 1 2 4 5 P(x)=x puisP(x)=x. En déduire que l’égalité(1) estvérifiée pour tout polynômePR. 5 5.calcul d’une intégrale. 4 x 5.1Montrer que la fonctionx! est intégrable sur]0,1[. x(1x) 4 1 x 5.2Calculer l’intégraleJ=dx, à l’aide du changement de variablet=2x1 et 0 x(1x) de la formule (1).
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PARTIE III fC a0 11 SoitnN*,. Etant donné des réelsa, ,an etune fonction, onnote n1 2k+1Snfakf xk oùk  ( )=( )x=cosπ. k=02nOn se propose de montrer qu’il existe des réelsa,a,,a uniques, tels que pour tout polynôme 0 1n1 R P de, on ait : n1 1 P(x) (2)dx=S(P). 1 2 n 1x 1.(2) estsatisfaite pour toutOn suppose que l’égalitéPRn1. Enp  renantsuccessivement n1 pour polynômesPmonômes 1, lesx, ,x,, montrerque la, ,a es réelsa0 1n1 sontles solutions d’un système den équations linéaires àn inconnues, dont le déterminant est non nul (on ne demande pas le calcul des intégrales qui interviennent dans le second membre du système). 2.On suppose qu’il existe des réelsa,a,,aque, pour tout telsp[[0,n1]], la relation 0 1n1 (2) soitvérifiée par les fonctions. p 2.1vérifiée pour tout polynôme(2) estMontrer qu’alors la relationPR. n1 2.2En utilisant ce qui précède, en particulierI.4etII.3,montrer que lesasont tous égaux et k calculer leur valeur.a PR 2.3On suppose que leskont la valeur trouvée en2.2. Soit un polynôme den. En 2 1 écrivant la division euclidienne deP(sur par[1,1]), montrer queP vérifie (2). n 1 g(x) Etant donné une fonctiongCnote, onD(g)=dxS(g) eton note 1 2 n n 1x g=Sup g(x). x[1,1] 3.SoitfC. 3.1SoitPR. Montrerqu’il existe un entiern>0 ,qui dépend deP ,tel que pour tout 0 nna, onD(f)2πfP. 0n f(x) 1 3.2En déduirelimS(f)=dx. n→+∞1 2 n 1x x 4.Pourx[1,1], on prendf(x)=e. Soitm un entier deN*. +∞ 1 11 ∑ ∑ 4.1Montrer que la sérieconverge et que. k!k!m.m! k0k=m+1  4 
1 4.2Déterminer un polynômeP de degrém tel quefP. m.m! x e3 1 4.3Justifier queS(f) fournitune valeur approchée de l’intégraledx à10 1 2 4 1x près. 4.4Calculer cette valeur approchée. Fin de l'énoncé.
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