CCP 2004 mathematiques 1 classe prepa mp

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SESSION 2004CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MPMATHEMATIQUES 1Duree : 4 heuresLes calculatrices sont interdites.* * *NB : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarte, a la precision et a la concisionde la redaction.Siuncandidatestameneareperercequipeutluisemblerˆetreuneerreurd’enonce,illesignalerasur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il aete amene a prendre.1A propos de l’hypothese«de classeC par morceaux» du theoreme de conver-gence normale d’une serie de Fourier ...Pourtoutefonctionf :R→R,continueparmorceauxetdeperiode2,onassociesescoe cientsZ21 intde Fourier exponentiels de nis, pour n∈Z, par c (f) = f(t)e dt et ses coe cientsn2 0de Fourier trigonometriques denis par :Z Z2 21 1a (f) = f(t)cos(nt) dt (pour n∈N) et b (f) = f(t)sin(nt) dt (pour n∈N ).n n 0 0On pose, pour tout entier naturel p et tout reel x :p pP Pa0inxS (f)(x) = c (f)e = + (a (f)cos(nx)+b (f)sin(nx)).p n n n2n= p n=1On rappelle le theoreme de convergence normale :1Si f :R→R est une fonction continue de periode 2 et de classe C par morceaux, la serie deFourier de f converge normalement vers la fonction f surR.Ainsi, la fonction f est limite uniforme de la suite de polynomˆ es trigonometriques (S (f)) .p p∈NNous allons etudier ce qui peut se produire si on enleve a ce theoreme l’hypothese « de classe1C par morceaux».Une ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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SESSION 2004
CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES ´ ´` EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MP
´ MATHEMATIQUES 1
Dur´ee:4heures
Les calculatricessont interdites. * * * NB:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportance`alaclart´e,`alapre´cisioneta`laconcision delare´daction. Siuncandidatestamene´a`rep´erercequipeutluisemblereˆtreuneerreurd´enonce´,illesignalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a ´ete´amene´`aprendre. 1 ` Aproposdelhypoth`ese«de classeCpar morceaux»`eor´ethdure-ocvnemed gencenormaledunes´eriedeFourier... Pour toute fonctionf:RRon,carepnutixuaecromre´pedteiode2π, on associe ses coefficients Z 2π 1 int deFourierexponentielsd´enis,pournZ, parcn(f) =f(t)edtet ses coefficients 2π 0 deFouriertrigonome´triquesde´nispar: Z Z 2π2π 1 1 an(f) =f(t) cos (nt) dt(pournN) etbn(f) =f(t) sin (nt) dt(pournN). π π 0 0 On pose, pour tout entier naturelplte´reeottux: p p PaP 0 inx Sp(f)(x) =cn(f)e(= +an(f) cos (nx) +bn(f) sin (nx)). 2 n=p n=1 On rappelle lergveonecedemr`eo´htlaeonmrneec: 1 Sif:RRctioefonstunee2odpedeire´nocnunitπet de classeC´eriedeaexul,sapraomcr Fourier defconverge normalement vers la fonctionfsurR. Ainsi, la fonctionflasumedeiforteunemtsnyoˆpelotideesqurietm´nogoritseimil(Sp(f)) . pN Nousallons´etudiercequipeutseproduiresionenl`eve`acethe´ore`melhypoth`ese«de classe 1 Cpar morceaux». Unepremie`repartied´emontredesr´esultatspre´liminaires. 1 Unedeuxie`mepartietraitedunexempleou`,sanslhypothe`se«de classeCpar morceaux», las´eriedeFourierpeutdiverger. Unetroisie`mepartierechercheuneconditionplusfaiblepourque,sanslhypoth`ese«de classe 1 Cpar morceaux»reiaesrsemFˆoeumrqiueedlausr´eerpniuo,audnesdsqefconverge uni-forme´mentverslafonctionfsurR. I.R´esultatspr´eliminaires 1.me`ecodethleor´eroneelamrevncnegS,iadsnseusicd-uspp,snouelaoseqtionfoncf n’est pas continue mais seulement continue par morceaux surR:
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a.r`eoh´etrllepeapRleirevncnegepytocedntdequelpr´ecisacilhtenemedeDeri s’agit. b.mesuitftoCrerrgveonecurpoceenlle-tiarnuerteˆeR? 2.Onc`drenoisnotclefanciotionenuϕ:RRped,ire´2edoπireetd´eniepourap, x[0, π], parϕ(x) =x. Donner l’allure de la courbe de cette fonction et expliquer pourquoi elle n’est pas de 1 classeCpar morceaux surR. 3.The´or`emedeCes`aro Soit (un)nNune suite de complexes qui converge vers le complexel. a.emedroe`hte´tnnulisanutint,elemeedsnoiatelerndioatmmso,repmisJitsu n P comparaison, que :(ukl) =o(nau voisinage de ++ 1). k=0   u0+u1+. . .+un b.rgevonveerscreuielquuiastenEde´dl. n+ 1 4.Soit une fonctionf:RRtioncreip´tedee2eonduπdont la somme de Fourier de rangnot´eeestnSn(f). Pournd´onl,nuonlnretueFedemmosaltinej´erneitrean defde rangn,netoe´σn(fyomaenneeCedra`sesodmmsodeesurFoei:rmmle)oc 1 σn(f) =(S0(f) +S1(f) +. . .+Sn(f)). n+ 1 Onde´montre,et nous l’admettrons, let`rme´hoeej´eedeFr: «eu(srtqimoe´ginoestrnˆomapsoulyitedLeσn(frustneme´mrofiungeernvco))Rvers la fonction f». Une application: Sif:RReuniedtenoittnocnetuncfoesoied´pre2πtelle que la suite (Sn(f)) converge simplement surR, montrer que la suite (Sn(f)) converge vers la fonctionf. 5.Si (ununstuiesdeteeer´e)eunexistileerquonicqufstisipolsrtnom,0srevegrev suitedere´els(dnurtoutenleque,poerlitreanutanssette´e)doicrllunleteiledetimn, 06un6dnalusqreuuspti(epno(ap,arruolempxereeri´e,v{uk, k>n}) convient). II.UnexempledeSe´riedeFourierdivergente(enunpoint) Onconsid`erelasuitedefonctions(fnilrretnllav0[e)d´eniessu, π] pour tout entier naturel h i 13x n non nulnpar :fn(x.sin 2+ 1) = 2 n2 P 6.sftonnocMtionlauerqredeieers´fnconverge normalement sur [0, π]. n>1 Ond´enitalorslafonctionfntine,copair2eirdopee´eud,πsurRet telle que pour +P toutre´elx[0, π],f(x) =fn(x). n=1 Z π 2k+ 1 7.On pose, pourpetkentiers naturels,Ip,k(= cospt) sintdtet, pourq 2 0 q P entier naturel,Tq,k=Ip,k. p=0 a.Calculer, pourpetknilge´truta,sletiensnerraleIp,k. b.Pourqetksranuteretneifitisoplee´runerinrmte´e,dlscktel queTq,k=ck+ k+q P1 ,etende´duireque,pourtoutcouple(q, k) d’entiers naturels,Tq,k>0. 2j+ 1 j=kq
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N P1 c.D´eterenimop,rruNau voisinage de +,ueq.n´eltniuaveledispm 2k+ 1 k=0 1 d.Ende´duireque,pourkau voisinage de +,Tk,klnk. 2 +2P1 8.Montrer que, pourpentier naturel non nul,ap(f) =In1. 3 2p,2 πn=1n a0(f) 2 9.Montrer que, pourpentier naturel non nul,Sp1(f)(0)>+Tp1p1 3 33 2 22,2 2πp N N P P a0a0 (on remarquera que :+ai=+ai). 2 2 i=1i=0 Conclure que la suite (Sn(f)(0)) diverge. III.Fonctions`avariationborne´e,The´or`emedeJordan Pourdeuxr´eelsa < bon noteS[a,b]l’ensemble des subdivisions de l’intervalle [a, b]. Sifest une fonction de [a, b]Retσ= (x0, x1, . . ., , xn)S[a,b], on note : n1 P V(σ, f) =|f(xi+1)f(xi)|. i=0 On dira que la fonctionfst`avariationboreeer´oslpifitee´nlissixenuetMtel que pour touteσS[a,b], l’on ait :V(σ, f)6M. On appelle alorsvariation totaledefsur [a, btifion´t´reeplso]lee: V([a, b], f) =supV(σ, f). θS [a,b]   π 10.Montrer que la fonctionf: [0,1]Reiape´ndrf(0) = 0 etf(x) =xcos si 2x x6=tse0tnoceuninettpes`aasrivataoibnro´neeus[r0,1]. (on pourra choisirσ= (xkde [0) subdivision,1] :x0= 0,xn+1= 1 et 06k6n+1 1 k∈ {1, . . ., n}, xk= ). 2 (n+ 1k) 11.uxne´gare´mexEselp a.Montrer qu’une fonctionf: [a, b]Re´nreiationboest`avaromonotenuqeits sur [a, brte,]´eprseciV([a, b], f). b.Montrer qu’une fonctionf: [a, b]Rqui est somme de deux fonctions mono-tonesest`avariationborne´esur[a, b]. 1 c.Montrer qu’une fonction [a, b]Rqui est continue et de classeCpar morceaux est`avariationborne´e. 12.Soit une fonctionf: [a, b]R´neeus[rtaoibnro`arivaa, b], et soita < c < b. Montrer que chacune des restrictions defaux intervalles [a, c] et [c, bav]te`siaaronti borne´eetque:V([a, c], f) +V([c, b], f)6V([a, b], f). Remarque :emailit´eserscentulipasacrepeuoeunpomomeˆetmuqrertnage´ayli proble`me. 13.Soitf:RRtionfoncune2deiore´pedteeunitnocπtelle que la restriction defa` l’intervalle [0,2π.ornbeen´iravoitaos]a`ti Pournentier relatif etNentier naturel, tous deux non nuls, on utilisera la subdivision σ= (xk)06k6|n|Nde [0,2πpoe,ur]´deinkentier compris entre 0 et|n|N, par : 2πk xk= . |n|N Pourkentier compris entre 1 et|n|N, on noteraVk(f) la variation totale defsur l’intervalle [xk1, xk].
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