CCP 2004 mathematiques 1 classe prepa psi

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Œ˛øjº„߲Łjœj˛łœŁœ˛ł˛º˛ŒßØØ˛ø-Œ„Concours communs polytechniquesEpreuve spécifique filière PSI- Session 2004Mathématiques I : 4 heuresCalculatrices autorisées.Notations et but du problèmeE fest le R espace vectoriel des fonctions définies sur R , à valeurs réelles, de+01 f ( 0) = 0classe c sur R et vérifiant .+E f Eest l’ensemble des fonctions appartenant à et telles que la fonction1 02? f t ?( ) *ta soit intégrable sur R .? ? +tE f Eest l’ensemble des fonctions appartenant à et telles que la fonction2 02Rta f '( t ) soit intégrable sur .( ) +On note :1/ 22 1/ 2? f t ? 2( ) pour f E ; N f = f ' t dt pour f E ; N f = dt ( ) ( ( ) )( )1 ? ? 1 2 2*? ? RR ++ tLe but du problème est de comparer les ensembles E et E d’une part, les1 2N Nfonctions et d’autre part.1 2Les parties I et II sont consacrées à deux exemples, la partie III aborde leproblème de comparaison de façon plus générale.Partie I – Exemple IfDans cette partie on suppose que est la fonction définie sur R par+f t = Arc tan t( ) .f E1. Montrer que appartient à .11* H : tax2. Montrer que, pour tout x R , la fonction est2 2 2+ t +1 t + x( ) ( )f Eintégrable sur R et qu’en particulier appartient à .+ 2* x = H t dtN f ( ) ( )( ) x R3. Calcul de . Pour , on note x .2 ?+ R+*3.1. Montrer que la fonction est continue sur R .+*3.2. Soit x R , x 1 ; décomposer en éléments simples la fraction+1rationnelle de la variable T , .2T +1 T + x( ) ( )*x3.3. En déduire ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Concours communs polytechniques
Epreuve spécifique filière PSI- Session 2004
Mathématiques I
: 4 heures
Calculatrices autorisées.
Notations et but du problème
0
E
est le R espace vectoriel des fonctions
f
définies sur R
+
, à valeurs réelles, de
classe c
1
sur R
+
et vérifiant
(
29
0
0
f
=
.
1
E
est l’ensemble des fonctions
f
appartenant à
0
E
et telles que la fonction
(
29
2
f
t
t
t
a
soit intégrable sur
*
R
+
.
2
E
est l’ensemble des fonctions
f
appartenant à
0
E
et telles que la fonction
(
29
(
29
2
'
t
f
t
a
soit intégrable sur
R
+
.
On note :
(
29
(
29
*
1/ 2
2
1
R
f
t
N
f
dt
t
+
=
pour
1
f
E
;
(
29
(
29
(
29
1/ 2
2
2
'
R
N
f
f
t
dt
+
=
pour
2
f
E
;
Le but du problème est de comparer les ensembles
1
E
et
2
E
d’une part, les
fonctions
1
N
et
2
N
d’autre part.
Les parties I et II sont consacrées à deux exemples, la partie III aborde le
problème de comparaison de façon plus générale.
Partie I – Exemple I
Dans cette partie on suppose que
f
est la fonction définie sur R
+
par
(
29
tan
f t
Arc
t
=
.
1.
Montrer que
f
appartient à
1
E
.
2.
Montrer que, pour tout
*
x
R
+
, la fonction
(
29
(
29
2
2
2
1
:
1
x
H
t
t
t
x
+
+
a
est
intégrable sur R
+
et qu’en particulier
f
appartient à
2
E
.
3.
Calcul de
(
29
2
N
f
. Pour
*
x
R
+
, on note
(
29
(
29
x
R
x
H
t dt
ϕ
+
=
.
3.1. Montrer que la fonction
ϕ
est continue sur
*
R
+
.
3.2. Soit
*
x
R
+
,
1
x
; décomposer en éléments simples la fraction
rationnelle de la variable
T
,
(
29
(
29
2
1
1
T
T
x
+
+
.
3.3. En déduire l’expression explicite de
(
29
x
ϕ
pour
*
x
R
+
,
1
x
.
3.4. Quelle est la valeur de
(
29
2
N
f
?
4.
Etudier le signe de
tan
u
Arc
u
-
pour
u
R
+
.
5.
Montrer que, pour
x
R
+
, la fonction
(
29
(
29
2
tan
:
1
x
Arc
xt
G
t
t t
+
a
est intégrable sur
*
R
+
.
6.
Calcul de
(
29
1
N
f
. Pour
x
R
+
on pose
(
29
(
29
*
x
R
x
G
t dt
θ
+
=
.
6.1. Montrer que la fonction
θ
est continue sur
R
+
.
6.2. Montrer que la fonction
θ
est de classe c
1
sur
R
+
.
6.3. Expliciter
(
29
'
x
θ
pour
x
R
+
.
6.4. Expliciter
(
29
x
θ
pour
x
R
+
.
6.5. Etablir une relation entre
(
29
2
1
N
f
et
(
29
1
θ
.
6.6. En déduire la valeur de
(
29
1
N
f
et celle de
(
29
(
29
1
2
N
f
N
f
.
Partie II - Exemple 2
Dans cette partie on suppose que
f
est la fonction définie sur
R
+
par
(
29
(
29
2
ln
1
f
t
t
t
=
+
+
.
1.
Calculer
(
29
'
f
t
pour
t
R
+
. En déduire que
f
est élément de
2
E
. Quelle est la
valeur de
(
29
2
N
f
?
2.
Déterminer un équivalent (simple !) de
(
29
f t
lorsque
0
t
+
(respectivement
lorsque
t
→ + ∞
).
3.
Montrer que
f
appartient à
1
E
.
4.
Calcul d’une intégrale
.
4.1. Montrer que la fonction
2
ln
1
t
t
t
-
-
est intégrable sur l’intervalle
]
[
0,1
.
On note désormais
]
[
2
0 ,1
ln
1
t
J
dt
t
-
=
-
.
4.2. Montrer que, pour tout
k
N
, la fonction
2
ln
k
t
t
t
-
a
est intégrable sur
l’intervalle
]
[
0,1
; expliciter la valeur de
(
29
]
[
2
0 ,1
ln
k
k
J
t
t dt
=
-
.
4.3. Justifier avec soin l’égalité
(
29
]
[
2
0 ,1
0
0
ln
k
k
k
k
J
J
t
t dt
+ ∞
+ ∞
=
=
=
=
-
.
4.4. Déduire de ce qui précède la valeur de l’intégrale
J
, sachant que la série
2
1
1
n
n
converge et que
2
2
1
1
6
n
n
π
+ ∞
=
=
.
5.
Calcul de
(
29
1
N
f
.
Pour simplifier on note
(
29
(
29
*
2
2
1
R
f
t
I
N
f
dt
t
+
=
=
.
On rappelle que
2
u
u
e
e
shu
-
-
=
,
2
u
u
e
e
chu
-
+
=
pour
u
R
, et la relation
2
2
1
ch u
sh u
-
=
.
5.1. Montrer que
(
29
*
2
2
1
R
f
t
I
dt
t
t
+
=
+
.
5.2. Justifier le changement de variable
(
29
(
29
2
ln
1
u
f t
t
t
=
=
+
+
dans
l’intégrale obtenue dans la question II.5.1 ; que devient
I
quand on
effectue ce changement ?
Même question pour le changement de variable
u
v
e
=
.
5.3. En déduire la valeur de
(
29
1
N
f
, puis celle de
(
29
(
29
1
2
N
f
N
f
.
Partie III
Le but de cette partie est de comparer, d’une part les ensembles
1
E
et
2
E
,
d’autre part les fonctions
1
N
et
2
N
.
1.
Soit
f
une fonction quelconque appartenant à
0
E
(donc de classe c
1
et telle
que
(
29
0
0
f
=
). On associe à
f
deux fonctions
g
et
h
définies sur
*
R
+
par
(
29
(
29
f
t
g t
t
=
et
(
29
(
29
f
t
h t
t
=
pour tout
0
t
. On pose
(
29
' 0
f
α =
.
1.1. Quelle est la limite de
(
29
h t
(respectivement de
(
29
g t
) quand
0
t
+
?
1.2. Exprimer
(
29
(
29
'
'
f
t
t g
t
-
en fonction de
(
29
h t
lorsque
*
t
R
+
.
1.3. Quelle est la limite de
(
29
'
t g
t
(respectivement de
(
29
(
29
'
g t
g
t
×
) lorsque
0
t
+
?
(on exprimera les résultats en fonction de
(
29
' 0
f
α =
).
1.4. Etablir, pour
0
x
, la relation :
(
29
R
:
(
29
(
29
]
]
(
29
(
29
(
29
(
29
]
]
(
29
(
29
]
]
2
2
2
2
0 ,
0 ,
0 ,
1
1
'
'
2
4
x
x
x
f
t
dt
g x
t g
t
dt
h t
dt
=
+
+
(après avoir justifié l’intégrabilité sur
]
]
0,
x
de chacune des fonctions qui
interviennent)
2.
Comparaison de
1
E
et
2
E
.
2.1. Déduire de la relation
(
29
R
l’inclusion
2
1
E
E
.
2.2. Les ensembles
1
E
et
2
E
sont- ils égaux ? (On pourra considérer la fonction
sin
t
t
a
)
3.
Comparaison de
1
N
et
2
N
.
3.1. Montrer que
2
E
est un sous- espace vectoriel du R- espace vectoriel
0
E
.
On admettra sans justification que
1
N
et
2
N
sont des normes sur l’espace
vectoriel
2
E
.
3.2. Justifier l’inégalité
(
29
(
29
1
2
2
N
f
N
f
, pour
2
f
E
.
3.3. Pour
*
n
N
, on définit sur
R
+
la fonction
n
f
par
(
29
(
29
sin
t
n
f
t
e
nt
-
=
.
Vérifier que
2
n
f
E
pour tout
*
n
N
et calculer
(
29
2
n
N
f
.
3.4. Les normes
1
N
et
2
N
sont - elles équivalentes sur
2
E
?
4.
Soit
f
appartenant à
2
E
; en utilisant la relation
(
29
R
montrer que
(
29
g t
admet
une limite lorsque
t
→ + ∞
; quelle et cette limite ?
Fin de l’énoncé
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