CCP 2004 mathematiques 1 classe prepa tsi

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CCP TSI 2004 Maths 1 page 1CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUESEPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSIMATHEMATIQUES 1Dur´ee : 4 heuresLes calculatrices sont autoris´ees????NB. : Le candidat attachera la plus grande importance `a la clart´e, a` la pr´ecision et `a laconcision de la r´edaction.Si un candidat est amen´e `a rep´erer ce qui peut lui sembler ˆetre une erreur d’´enonc´e, il lesignalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiativesqu’il a ´et´e amen´e `a prendre.Objet : La transformation de Fourier est un outil employ´e en sciences de l’ing´enieur. Enplus d’ˆetre lin´eaire, elle v´erifie de nombreuses propri´et´es. Nous nous proposons d’en ´etablirquelques-unes en nous limitant `a un espace vectoriel particulier.I. - Pr´eliminaires∞On note C (R,C) l’espace vectoriel sur C des fonctions d´efinies, continues, infinimentd´erivables deR dansC.2∞ −πtOnnoteP lesous-espacevectorieldeC (R,C)desfonctionsf delaformef(t)=P(t)eou` P est un polynˆome `a coefficients complexes.Pour tout n entier naturel, on noteP , le sous-espace vectoriel deP des fonctions f de lan2−πtforme f(t) = P(t)e ou` P est un polynˆome `a coefficients complexes de degr´e inf´erieurou ´egal `a n.I-1) Quelques endomorphismes qui nous seront utiles∞Soient T, D, S trois applications qui, `a une fonction f deC (R,C) associent respec-tivement les fonctions suivantes :T(f)=g avec pour tout t r´eel g(t)=tf(t)0D(f)=fS(f)=h avec pour tout t r´eel ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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CCP TSI 2004 Maths 1
CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSI
MATHEMATIQUES 1
Duree:4heures
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Lescalculatricessontautorisees ? ? ?? NB.:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportancealaclarte,alaprecisionetala concisiondelaredaction. Siuncandidatestameneareperercequipeutluisemblerˆetreuneerreurdenonce,ille signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives quilaeteameneaprendre. Objet :LatransflompletiouunstreeiruoFednoitamroEneur.eniingdsleneecsnicyee plusdˆetrelineaire,elleveriedenombreusesproprietes.Nousnousproposonsdenetablir quelques-unesennouslimitantaunespacevectorielparticulier. I.-Preliminaires On noteC(R,C) l’espace vectoriel surCtnninemiitnodsedseofcnntinues,nies,co derivablesdeRdansC. 2 ∞ t On notePle sous-espace vectoriel deC(R,C) des fonctionsfde la formef(t) =P(t)e ouPientscomplexes.ylopmoˆncaeceoeunst Pour toutnentier naturel, on notePn, le sous-espace vectoriel dePdes fonctionsfde la 2 t formef(t) =P(t)eouPreinferxieesudredegstocpmeloceicneˆoynametuesolnp ouegalan. I-1) Quelquesendomorphismes qui nous seront utiles SoientT,D,Ssapptroi,uaqsiuitnoilacontincfonefdeC(R,C) associent respec-tivement les fonctions suivantes : T(f) =gavec pour toutterelg(t) =tf(t) 0 D(f) =f S(f) =havec pour touttleerh(t) =f(t) Montrer que les applicationsT,D,Snucaenueessihctndneismedendomorph C(R,C). 1 Montrer queSest un automorphisme. DonnerS. I-2)Etudedesintegralesutilisees Z +2 t a)Justier l’existence deJ=e dt. ∞ DenombreusesmethodespermettentdobtenirJ=. On l’admettra. Z +2 t Endeduirelavaleurde:e dt. ∞
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Z +b)Pour toute fonctionfdeP, justier la convergence absolue def(t)dt. ∞ c)Pour toutup,uotruorelentfonctiofdeP, justier la convergence absolue de Z +2iut f(t)e dt. ∞ I-3)DenitiondelatransformationdeFourier(noteeici) Soituqnoitactuota,ilippalfdePassocie si elle existe la fonction(f) =deR dansCiretna:v Z +2iut pour toutueelr(u) =f(t)e dt. ∞ VerierqueuresniedenibtseP, puis montrer quecationliuneapplietsaen.eri II.-DeuxformulespourlapplicationlineaireOn conservera par la suite les notations suivantes : 2 t feunemltdenePnerapi:,df(t) =P(t)epour touttreel Z +2iut Son image par:=(fpeined):ar(u) =f(t)e dtpour toutu.eelr ∞ II-1)Premiereformule 0 Justierladerivabilitede, calculer(u) et montrer que dansPon a : 0 =2i(g) avecg(t) =tf(t) quelonpeutecriredefaconplusformelle D=2i(T) formule que l’on notera (1) 0 En remarquant queest l’image d’une fonction dePriudeuqe,endeest inniment derivableetestdoncunelementdeC(R,C). II-2)Deuxiemeformule Paruneintegrationparparties,montrerquedansPon a : Z +0 02iut (f) =1avec1(u) =f(t)e dt= 2iu(u) ∞ quelonpeutecriredefaconplusformelle D= 2i(T) formule que l’on notera (2) III. -est un endomorphisme III-1)Pour toutkentier naturel, on notebktauouqitlaontincfotiessoceealrbk(t) = 2 kt t e. Pour toutn(leilamafelerdsicnnoleo,tarueinrentbk)06k6n, justier que celle-ci constitue une base dePn. On pose(bk) =Bk. 0 III-2)Donner l’ensembleSG(reidnoelleitnesdeltionuatieqosuldseE) :f(t)+2tf(t) = 0 1 sifest une fonction deRdansCde classeC. III-3)eriuerqeVb0denetsmeneteulSGiendlequtielerenlueeocot,nidnoitaleralre en utilisant les endomorphismesDetTationdireunerelllveeireertneieedneiude, parB0, puis montrer l’existence d’une constante complexetelle que, pour toutu 2 u reel,B0(u) =e. ExprimerB00(s)uofsromeduneintegraleeetdneudrilevaaleurde. III-4)Pour toutkentier naturel non nul, on a la relationbk=T(bk1). CalculerB1,B2, B3iup,rertnomscuerrpaquceenrreBk=(bk)estuneelmenedtPk.nEduiedre que pour toutnentier naturel non nul, sifuneestenedtlmePnmeˆeemtdesline, de(f). Montrer alors quehirpedsmeedtinnenuomodP.
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IV. -Etude en dimension4 Soitnun entier naturel. On noteSnl’endomorphisme dePntel queSn(f) =S(f) etnl’endomorphisme dePn tel quen(f) =(f). IV-1)Ecrire les matrices de3etS3dans la base (b0, b1, b2, b3) deP3. IV-2)Expliciter33en fonction deS3ireqeduE.dnue3erinrmestilbisrevnetedtee son inverse. V. -est bijectif. Quel est son inverse? 2 Pour tout endomorphismeA, on noteA=AA, et pour toutmentier naturel non nul m m1m1 0 A=AA=AAavec la conventionA=Iitnodineitteiuqrperseeelntppacali surP. (j) (j) iemej der r naturel, on noteb0lajcb=D(b0) (on Pour toutjdeevieentieb0, on a don0 (0) poserab=b0). 0 (0) V-1)Pour toutjentier naturel non nul, exprimer(b) en fonction deb0et deT, puis 0 en fonction debj. k V-2)Pour toutkentier naturel non nul, on a la relationbk=T(bk1) =T(b0exprimer) ; (k) eb0et deD, puis en f. (bk) en fonction donction deb0 2 V-3)Exprimer alors(bk.E)endirduequeest bijectif, justier les deux formules sui-vantes : 1 =Set=S=S. CettederniererelationnouspermettraparlasuitedepermuterSet. 1 3 V-4)Montrer que=. VI. -Valeurs propres et vecteurs propres de3 VI-1)Detenimrelrealsvrseuopprsdreleednmorohpsiem3; cet endomorphisme est-il diagonalisable ? VI-2)asedunebinertermeDeP3sdreerseuopprevtceeedromf3. 2 t VI-3)Soit la fonctionfdeRdansRuotdeinpeuotrtreeplra:f(t) =P(t)e, avec 2 3 P(t) = 1 +t+t. Decomposerfetasuvroandabslnte.ederecoipneutslaqaee
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