CCP 2004 mathematiques 2 classe prepa pc

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6Concours CCP 2004Epreuve speci que - Filiere PCMATHEMATIQUES 2Duree : 4 heuresLes calculatrices sont interdites****N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarte,a la precision et a la concision de la redaction.Si un candidat est amene a reperer ce qui peut lui sembler ˆetre une erreur d’enonce,il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa compositionen expliquant les raisons des initiatives qu’il a ete amene a prendre.****La partie II peut ˆetre traitee independamment des parties I et III.Partie I+∞Xs nOn considere la serie entiere n z de la variable complexe z, ou s est un nombren=1reel donne.I.1 Determiner le rayon de convergence de cette serie entiere.i I.2 Dans cette question, z = e designe un nombre complexe de module 1.+∞Xs nI.2.1 Etudiez la convergence de n z dans le cas ou s > 1 ainsi que dans len=1cas ou s 0.+∞Xs nI.2.2 Dans le cas ou 0 < s 1, etudier la convergence de n z pour z = 1.n=1I.2.3 Toujours dans le cas ou 0 < s 1, on suppose que z = 1. On pose S = 00nX ket pour tout nombre entier n∈N , S = z .nk=11Montrer que|S | M() pour tout n∈N, avec M() = .n sin 2kEn ecrivant z sous la forme S S pour tout nombre entier k ∈ N,k k 1montrer que :n n 1X X s k s s s∀n∈N , k z = S [k (k +1) ] +S n .k nk=1 k=11+∞Xs sMontrer que la serie S [n (n+1) ] est convergente et en deduire que la serienn=1+∞Xs nn z est convergente.n=1+∞Xs ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Concours CCP 2004 Epreuvesp´ecique-Fili`erePC MATHEMATIQUES 2 Dure´e:4heures
Les calculatrices sont interdites **** N.B.:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportance`alaclarte´, a`lapre´cisionet`alaconcisiondelare´daction. Siuncandidatestamene´a`repe´rercequipeutluisemblerˆetreuneerreurde´nonce´, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition enexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilae´t´eamen´ea`prendre. **** LapartieIIpeutˆetretrait´eeind´ependammentdespartiesIetIII.
Partie I +X s n Onconside`relase´rieenti`eren zde la variable complexezu,`osest un nombre n=1 r´eeldonn´e.
I.1re`e.imrete´Dyarelrenondeconvergencedceteet´sreeineit I.2Dans cette question,z=e.drbcennmonguee´isule1emodexedompl +X s n I.2.1Etudiez la convergence den znalscesao`uds >1 ainsi que dans le n=1 casou`s0. +X s n I.2.2asecu0o`Dslan< snegrevnoedecet,´1acrlieudn zpourz= 1. n=1 I.2.3oTjuadsnuosrcale`uso0< s1, on suppose quez6= 1.On poseS0= 0 n X k et pour tout nombre entiernN,Sn=z. k=1 1 Montrer que|Sn| ≤M(θ) pour toutnN, avecM(θ) =. θ sin   2 k Ene´crivantzsous la formeSkSk1pour tout nombre entierkN, montrer que : n n1 X X ∗ −s ksss nN, kz=Sk[k(k] ++ 1)Snn . k=1k=1
1
+X ss Montrerquelase´rieSn[n(n+eual´sreeieentndtedu´eeqir)1tse]vnocegre n=1 +X s n n zest convergente. n=1 +X s n Nousnoteronsdor´enavantϕ(z, s) la sommen zpour tout couple (z, s)C×R n=1 pourlequelcettese´rieestconvergente.
I.3On noteIl’intervalle ouvert ]1,1 [deR. Z x ϕ(t, s) I.3.1Montrer que pour tout (x, s)I×Ron aϕ(x, sd+ 1) =t. t 0 I.3.2Calculerϕ(x,0) etϕ(x,1) pour toutxI.
I.4On suppose dans cete question ques >1. ∗ −nt s1 I.4.1Soitfnlafonctiond´einseru0[,+[ pour toutnNparfn(t) =e t. Z +Montrer quefnes´egrtintus[rbael0,+[ et exprimerfn(t) dtde`aail0 Z Z ++t s1 den,srglaΓe(ltitne´es) =e tdt=f1(t) dt. 0 0 I.4.2Soitzontra1.Meerqucorembnounelniomudexedpmelgal`ou´eieurf´er +X n lase´riez fn(tlbairavaellee´rencfode)elsdontitreema`estint´egrablet n=1 terme sur ]0,+[. End´eduirequepourtouts >1 et pour toutzCtel que|z| ≤1, on a Z +s1 z t (1)ϕ(z, s) =dt. t Γ(s)0ez
Partie II +X s Pourtoutnombrere´els >1, on poseζ(s) =ϕ(1, s) =n. n=1 II.1Montrer queζedelvabliablavareefunsteniioctonmine´dnire´dtnessur ] 1,+[. II.2Montrer queζssantesur]1eststtcirnemee´dtiorc,+[. II.3Montrer que pour touts] 1,+[, on a : Z +s 0ζ(s)1tdtζ(s). 1 Ende´duirelalimitedeζ(s) lorsquestend vers +aveltnur´nqeiueretnemiD´. deζ(s) lorsqueser`s1a.pue´iruevaleutresnsdvers1par 2
Partie III III.1Soitglednravanofaoitcelleliabler´exd´eneiap:r   2 πx (i)g(x) =pour toutx[ 0,2π[ 2 (ii)gptse2oiedp´eruedeodiq´eriπ.
III.1.1Montrer quegaprietsevele.D´roppegenedeire´srreiruoF.Eleel´eerditu le´galit´eentregedeiruoF.reietlasommedesas´er III.1.2Calculer les valeurs deζ(2) etζ(4u,)`oζlansdaien´endionotcltfase partiepre´ce´dente.
III.2SoitθunneleO.nntomorbree´(θrtpar´iela)lleeedeϕ(e ,o)u2`ϕest la fonctionde´nie`alaquestionI.2.
III.2.1Exprimez(θdedieala)`g(θ). III.2.2ndEdu´eeqirpoueruottuθRon a : Z +t 2 t(ecosθ1) π dt=g(θ). 2t t 0e2ecosθ+ 112 III.2.3e´Ds:let´inraegdrselaueleva`cdepr´eequiedecduir
Z Z Z +++t tt I1= dt I2= dt I3= dt t t e1e+ 1sht 0 0 0 III.3Soitse´letsiurnnmorbreositif.ctementp III.3.1Montrer que pour toutθRe´:slati´sgeolena Zs t+X +t(ecosθ1) (s+1) dt= Γ(s+ 1)ncosnθ, 2t t 0e2ecosθ+ 1 n=1 Z+s tX +t esinθ(s+1) dt= Γ(s+ 1)nsinnθ. 2t t 0e2ecosθ+ 1 n=1 III.3.2s:leraeg´eduEndesexiredisnorpseni´tdsse Z Z ++s s t t I(s) =dt, J(sd) =t, chtsht 0 0 ++X X (s+1)k(s+1) en fonction des sommesS1(s) =(2k,+ 1)S2(s() =1) (2k+ 1)et k=0k=0 de Γ(s+ 1).
Findel´enonce´ 3
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