CCP 2004 mathematiques 2 classe prepa tsi

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CCP TSI 2004 Maths 2 page 1CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUESEPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSIMATHEMATIQUES 2Dur´ee : 3 heuresLes calculatrices sont autoris´eesNB. : Le candidat attachera la plus grande importance `a la clart´e, a` la pr´ecision et `a laconcision de la r´edaction.Si un candidat est amen´e `a rep´erer ce qui peut lui sembler ˆetre une erreur d’´enonc´e, il lesignalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiativesqu’il a ´et´e amen´e `a prendre.Soit α un nombre r´eel et f une fonction continue deR dansR.On note (E ) l’´equation diff´erentielle suivante :α00(E ) : y +αy =f.αOn d´esigne par :• S l’ensemble des fonctions F de la variable x deux fois d´erivables deR dansR solutionsde l’´equation diff´erentielle (E )α• S l’ensemble des fonctions F ´el´ements deS telles que F(0)=F(π)=0.0Partie AA.1.) On suppose dans cette question que la fonction f est nulle surR et que le r´eel α estnul. D´eterminer l’ensembleS .0A.2.) On suppose dans cette question que la fonction f est nulle surR.Soit ω un r´eel strictement positif, d´eterminer l’ensemble S lorsque :02A.2.a.) α=ω .2A.2.b.) α=−ω .A.3.) On suppose dans cette question que le r´eel α est nul.Soit n un entier naturel non nul, d´eterminer l’ensembleS lorsque :0A.3.a.) f(x)=cosnx.A.3.b.) f(x)=sinnx.A.4.) On suppose toujours que le r´eel α est nul et on d´esigne par f un ´el´ement quelconque0deC (R,R).A.4.a.) Montrer que :‰ Z µZ ¶ ¾x u2S = F :x7→ ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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CCP TSI 2004 Maths 2
CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSI
MATHEMATIQUES 2
Duree:3heures
Lescalculatricessontautorisees
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NB.:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportancealaclarte,alaprecisionetala concisiondelaredaction. Siuncandidatestameneareperercequipeutluisemblerˆetreuneerreurdenonce,ille signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives quilaeteameneaprendre. Soitbrereelunnomtefune fonction continue deRdansR. On note (Eitviaenlleerseundittei:onqeaul)00 (E) :y+y=f. Ondesignepar:  Sl’ensemble des fonctionsFde la variablexdedeufxiodseiravlbseRdansRsolutions delequationdierentielle(E)  S0l’ensemble des fonctionsFmeledetsenStelles queF(0) =F() = 0. Partie A A.1.) Onsuppose dans cette question que la fonctionfest nulle surRleerelequetest nul.DeterminerlensembleS0. A.2.) Onsuppose dans cette question que la fonctionfest nulle surR. Soitωurneletselesbmenlerinrmtee,dfitisoptnemetcirS0lorsque : 2 A.2.a.)=ω. 2 A.2.b.)=ω. A.3.)Onsupposedanscettequestionquelereelest nul. Soitnaturelnuonentiernetmrnirennlud,eleenlmbseS0lorsque : A.3.a.)f(x) = cosnx. A.3.b.)f(x) = sinnx. A.4.)Onsupposetoujoursquelereelotdneisngperaeluntsefeuqnunelementquelco 0 deC(R,R). A.4.a.) Montrerque : ½ ZµZ ¶¾ x u 2 S=F:x7→f(t)dt du+ax+b|(a, b)R. 0 0 A.4.b.)EndeduirequelensembleS0emeontnuqinleemeadnututeF1eterminer.DF1. 0 Danstoutelasuitedecettepartie,ondesigneparϕdeeeniondnctilafoC(R,R) danslui-mˆemequi,alafonctionf, associeF1ntdeu,inuqeleeemS0.
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0 A.5.a.) Montrerque l’applicationϕest un endomorphisme deC(R,R). A.5.b.) L’endomorphismeϕest-il injectif? surjectif? A.5.c.)Determinerlesvaleurspropresetlesvecteurspropresdelendomorphismeϕ. Partie B B.1.)OndenitlafonctionpdeRdansRpar : ³ ´ x xR, p(x) =¯sin¯. 2 1 B.1.a.) Montrerque la fonctionp2edotpesreaiep,drie, continue et de classeCpar morceaux. B.1.b.)Representergraphiquementlacourberepresentativedelafonctionpsur [,3] ³ ´ dansunrepereorthogonal0;ji ,. ³ ´³ ´ Unitegraphique2cmsurO;iet 5 cm surO;j. B.1.c.) Justieravec soin que la fonctionpdesaseriedeFourei.rstseemmo B.1.d.)DeterminerlescoecientsdeFourierdelafonctionpet montrer que : 2 4Pcosnx xR, p(x) =. 2  4n1 n>1 B.2.a.) Soitgoicnnoitnufenotceriode2nue,depdeRdansR, on notean(g) etbn(g) ses coecients de Fourier. Donner la formule de Parseval pour la fonctiong. B.2.b.)Endeduireque: 2 4P1+ =. 2 2  (4n1) 4 n>1 Partie C Onseproposederesoudrelequationdierentielle(E1oulier)elacadsnitucpsrafest un 0 elementdeC(R,R), soit : 00 y+y=f. C.1.)DeterminerlensembledesfonctionsdeuxfoisderivablesdeRdansRsolutions de lequationdierentielle: 00 y+y= 0. C.2.)OndenitlafonctionhdeRdansRpar : Z x xR, h(x) =f(t) sin (xt)dt. 0 C.2.a.) Montrerque : Z Z x x x[0, ], h(x) = sin(x)f(t) cost dtcosx f(t) sint dt. 0 0 0 00 C.2.b.) Montrerque la fonctionhiravdsefxiodtueesuresblRet expliciterheth. C.2.c.)Endeduirequelafonctionhseutenrei(edertpauliclusoontiE1). C.3.)DeterminerlensembledesfonctionsdeuxfoisderivablesdeRdansRsolutions de lequationdierentielle(E1). C.4.) Onsuppose dans cette question quef(x) =|sinx|. C.4.a.)DeduiredelapartieBque: 2 4Pcos 2nx xR,|sinx|=. 2  4n1 n>1
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C.4.b.) Soitxreemorbunnletenun entier naturel, calculer : Z x cos 2ntsin (xt)dt. 0 C.4.c.)tegraleerieetinmrturesortiedepoiavedrlnaOetdm. Montrer que : 2 4Pcos 2nxcosx xR, h(x(1) =cosx.) + 2 2   n>1(4n1) C.4.d.)DeduiredelaquestionB.2.b.)que: 2Pcos 2nx xR, h(x) =. 2 2 4 n>1(4n1) C.4.e.) Calculerh(0) eth(). 00 C.4.f.)DeduirelensembleSitndoqeauulleitnsoeodssletielerendiy+y=|sinx|puis l’ensembleS0eeemtndselsdeSs’annulant en 0 et. Partie D Onconsiderelequationdierentielle: 200 0 (F)x y(x) +xy(x) +y(x) = 0,x >0. D.1.) SoitzuxfoisderivableusrilppaenuednoitacRtelle quexR, y(x) =z(lnx). Ex-+ 0 00 primeralaidedesapplicationsz,zeiverdeslnoiicatappldelondestcereeemeiserp y. D.2.) Montrerque l’applicationyest solution surRequationdelenerdi(leeltiF) si, et + seulement si, l’applicationzest solution surRereeitnellrpaneuqueioatinddeciser, que l’on notera (H). D.3.)Resoudre(Hlossoituedsn(uirelensemblede.)nEddeF). D.4.)Determinerluniquesolutiondusystemesuivant: 200 0 x y(x) +xy(x) +y(x) = 0, x>0 y(1) = 0 0 y(1) = 1
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