CCP 2005 mathematiques 1 classe prepa psi

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calculatrices autorise¶esNotations et objectifs.On note :² N: l'ensemble des nombres entiers naturels,² R: l'ensemble des nombres r¶eels,² C: l'ensemble des nombres complexes,0² C : le R-espace vectoriel des fonctions continues de R dans R,0 0² C : le sous espace vectoriel de C des fonctions f 1-p¶eriodiques (c'est µa dire des fonctions telles que f(x+1) = f(x), pou1tout x 2 R).0 0Dans tout ce probleµme, on de¶signe par µ l'application de C dans C , d¶e¯nie par :R x+10pour tout f 2 C , µ(f) = F ouµ F est la fonction de R dans R qui µa x associe f(t) dt.x0On admet que µ est un endomorphisme de C .L'objet de ce problµeme est l'e¶tude de quelques propri¶ete¶s de la fonction F et de l'endomorphisme µ.Partie IQuelques proprie¶t¶es de F =µ(f)I.1. Exemples.I.1.1. Expliciter F(x), si f est d¶e¯nie sur R par f(t) = 1.k ¤I.1.2. Expliciter F(x), si f est d¶e¯nie sur R par f(t) = t (ouµ k est ¯x¶e dans N ).I.2. Variations de F = µ(f).0On d¶esigne maintenant par f une fonction arbitraire de C .1 0I.2.1. Montrer que la fonction F est de classe C sur R. Expliciter F (x) en fonction de f et de x.I.2.2. Montrer que si la fonction f est croissante (respectivement de¶croissante) sur un intervalle J = [x ;+1[, alors lx0 0fonction F est croissante (respectivement d¶ecroissante) sur J .x00I.2.3. Montrer que la fonction F = µ(f) est constante sur R si et seulement si f appartient aµ C .1I.2.4. Expliciter F(x), si f est d¶e¯nie sur R par f(t) = jsin(¼t)j.0On suppose de ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Notations et objectifs.On note :
calculatricesautoris´ees
: l’ensemble desnombres entiers naturels, N :lensembledesnombresre´els, R : l’ensemble desnombres complexes, C 0 : leespace vectoriel des fonctions continues dedans , R RR  C 0 0 : le sousespace vectoriel dedes fonctionsfridasedecnofnoitodriueiqcs(t`ess´teelple1squef(x=+ 1)f(x), po  CC 1 toutx). R 0 0 Danstoutceproble`me,onde´signeparapei:radsnede´nd,appltionlica 0C Cx+1 pour toutf,(f) =F`uoF`adans quiest la fonction dexassocief(t)dt. R Rx ∈ C0 CR On admet queest un endomorphisme de. Lobjetdeceprobl`emeestl´etudedequelquesproprie´te´sdelafonctionFet de l’endomorphisme.
I.1.Exemples.
Partie I Quelquespropri´ete´sdeF=(f)
I.1.1. ExpliciterF(x), sifest d´eparnie surf(t) = 1. R k I.1.2. ExpliciterF(x), sifrapre´neiustdesf(t) =t(o`ukestx´esnad). R N I.2.Variations deF=(f). 0 On d´esigne maintenant parf.une fonction arbitraire de C 1 I.2.1. Montrerque la fonctionFest de classesur .ExpliciterF0(x) en fonction defet dex. R C I.2.2. Montrerque si la fonctionfcroitd´eemenctivseepetr(ssnarciostealrvlenuruetninasss)etJx= [x0,alors+ [, 0 fonctionFest croissante (respectivement d´ecroissante) surJx. 0 0 I.2.3. Montrerque la fonctionF=(f) est constante sursi et seulement sifat`entiarppa. R C 1 I.2.4. ExpliciterF(x), sifest d´eparnie surf(t) =sin(πt) . R | | 0 On suppose denouveau quefnguee´iscnitenofbitronardeaire.d C I.2.5. Onsuppose que la fonctionfadmet une limiteL1.en + Montrer que la fonctionFadmet une limiteL2.(que l’on explicitera) en + I.3.Propri´et´es du graphe deF. 0 SoientfetF=(f). ∈ Cu+ 1 12 Onconside`relafonctionψdn´esuieraprψ(u) =F u=1f(t)dt. R2u ¡ ¢R 2 I.3.1. Comparerψ(u) etψ(u), si la fonctionfest impaire (respectivement paire). I.3.2.Quelleproprie´te´ge´ome´triquedelarepre´sentationgraphiquedelafonctionFesr´taulirduesedbostnettuodne´ep enI.3.1, si la fonctionfest impaire (respectivement paire) ?
I.4.Etude d’un exemple. 2 k t +eSoitf(t) =2, pourtlee´.r k=1k+ 1 I.4.1. MontrerPque la fonctionfruseunintcoetien´etdesR. 1 1 I.4.2. Montrerque la fonctionfsur .Estellede classeest de classeCsur ? R R C I.4.3. Lafonctionfoui, laquelle ?? Siadmetelle une limite en + I.4.4.Indiquerlalluredelarepr´esentationgraphiquedelafonctionfron(chnecherrepasaa`rpe´icesf(0)). I.4.5. Lafonctionfestelle int´egrable sur? R I.4.6. SoitF=(f). I.4.6.1.Indiquerlalluredelarepr´esentationgraphiquedelafonctionF. I.4.6.2. LafonctionFesur?t´egrabltleelnise R + (on pourra comparerF(x) etf(x) pourx).`atpanenaaptr R
Partie II L’endomorphismeII.1. L’endomorphismeestil surjectif ? II.2.Sur le noyau de. Onnotede´sormaisK er()le noyau de l’endomorphisme. 1 0 II.2.1. Montrerque :f Ker()fetf(t)dt= 0. 2 1´ 1 0 ∈ ⇐⇒∈ C II.2.2. Soit(f, g)10note. Ong< f³>=0f(t)gR(t)dt. ∈ C| N¡ ¢R Soitknote. Onckrrpaiesuaflctonndion´eck(t) = cos(2πkt). R 0 2 II.2.2.1.Ve´rierqueckaurtoutopa`tneitrappket calculer< cjck>pour tout choix de (j, k) () . N N C ∈| ∈ 1 II.2.2.2.K er() estil de dimensionnie ? 0 II.2.3. Soitf. ∈ Cx 1 Soitn. On note :φ(x) =f(t)dtpourx[n, n+ 1]. Nn n n+1f(t)NnRt Soitnpose. OnWn=dt. II.2.3.1.NR, la relationWn+1n t φ(1)n+ 1φ(t) 0n Etablir, pour toutnn= +2dt. | |R ) . II.2.3.2. Montrerqu’il existeM= max[0,1](φ0 Montrern,x[n, n+ 1],φ(x)M N n n+1| ∀ ∈∀ ∈φn(|t) End´eduirequelas´erie2dtconverge. n t P RII.2.3.3. Sion suppose quefppraat`atienker(derutanaltseelle),queri´easelWn? n1 PSi on suppose quefnappraitneptsaa`ker(,q)lluesteeanalerutaledre´sieWn? n1 II.3.Sur le spectre de.P On noteSp(emnse)lavsedelborpsruelsmhiedoenrpmosellledserpee´r. at Siannoteelx´e,omorbree´seutnnhalrparsueine´dnoitcnofaha(t) =e. R II.3.1. Montrerque chaquehaest un vecteur propre de l’endomorphisme. u e1 II.3.2. Etudierles variations de la fonctionupouru. uR 7→ ∈ + II.3.3. Expliciterl’ensembleSp() . R Partie III Une suite de fonctions propres de l’endomorphismeSoitλune valeur propre de l’endomorphismeOn noteEλropreurpelepecarporsuospseale`alavsseai´ocλiestqudenaxe´etectsuotiareptte. On supposeλ >0. I II.1.Soitk. On noteIkl’intervalle ]2kπ,(2k+ 1)π[. N cos(t) sin(t) On pose, pour touttde l’intervalleIk:g(t) =tln+ri´e.enemhtpe´nolnoiragnctilafoigned´esu`nlo, ³ ´ ³ ´ si n(t)λt + 22 I II.1.1.Soitρpar:eniesurcnitno´dalofρ(t) =tsin(2t)tsin (t). R +− − Etudier la fonctionρicesrpe´isngsrnoe.etsur R I II.1.2.Montrer quege´dtinbenuijectiondeIkintnreavlldeea`rpe´ices.rsuru R (fk) On se propose de montrer l’existence, dansEλ, d’une suite (non triviale)kNde fonctions propres. I II.2.Soitγ=a+ibu(o`,a, b) ]0,+ [. R ∈ ×x+1 γt I II.2.1.Soitx. Calculere dt. Rx nn´eRcessaire et suffisante la fonctionhdeRdansRien´edraph(t) =ecos(b at I II.2.2.A quelle conditiot) estelle un vecte propre de l’endomorphismeeassco´ie`alavaleurproprλ? III.3.Ende´duireunesuite(fk)kde fonctions propres de l’endomorphisme. N
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