CCP 2005 mathematiques 2 classe prepa mp

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RACINES CARREES DE MATRICESNotations.Danscesujet,n estunentier naturelnonnuletonnote :M (R) la R-algµebredes matricescarr¶eesre¶ellesdetaillen.nM (R) le R-espace vectoriel desmatricesµan ligneset unecolonne.n;1GL (R) legroupedes matrices inversiblesdeM (R).n nI lamatriceunit¶e deM (R).n nnId l'application identit¶ede R .tPourunematriceA 2M (R), Aestsamatricetranspos¶ee.nS (R) lesous-espace vectoriel des matricessym¶etriquesdeM (R).n n+S (R) le sous-espace vectoriel des matrices sym¶etriques positives de M (R), c'est aµ dire des matrices AnntdeS (R) v¶eri¯ant : pourtoute matriceX 2M (R); XAX ¸0.n n;1Si x ;:::;x sont des re¶els, on note diag(x ;:::;x ) la matrice diagonale de M (R) qui admet pour1 n 1 n ncoe±cientsdiagonaux lesre¶els x ;:::;x danscetordre.1 npSi pestunentiernaturelnonnul,onnotera k:k lanorme in¯niesur R1Si x=(x ;:::;x ), kxk =max jx j.1 p 1 1·i·p ipSi a 2 R et r>0,onnoteB (a;r) labouleouvertedecentre aderayonrpour lanorme k:k .1 1Objectifs.2SoitAunematricedeM (R), ondit qu'une matriceRdeM (R)est uneracinecarr¶eesdeAsi R =A.n n2OnnoteRac(A) l'ensembledesracinecarre¶esdeA,c'estµadireRac(A)= fR 2M (R)=R =AgnLe probleµme propose de de¶terminer les racines carr¶ee de A dans di®¶erents exemples, (on pourraconstater qu'une matrice peut parfois admettre une in¯nite¶ de racines) et e¶tudier quelques propri¶ete¶stopologiques deRac(A).Lestroispartiesduproblµemesontind¶ependantes.Lestroispremiersexemplesde lapartieI sonttous ind¶ependants.I. ...
Publié le : mardi 5 juillet 2011
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RACINES CARREES DE MATRICES Notations. Dans ce sujet,nest un entier naturel non nul et on note : Mnialle)al(`gbelaatsmderearsccerie´rsee´rtedsellen. R R M()elvectorieespacesecia`sedlrtamnlignes et une colonne. R R n,1 GL( )le groupe des matrices inversibles deM( ). R R n n Inedet´nieuictrmalaMn( ). R n I ditacdinoitnede´te.allipp R t Pour une matriceA M( ),A.ee´sestceriatamosspantr R n S( )le sousespace vectoriel des matrices sym´etriques deM( ). R R n n + Sle sousespace vectoriel des matrices sym´etriques positives de( )Mnesediradt`esc),(ciseamrtA nR R t deSnuartrtiotu:tpeomiancve´er()X Mn,1( ), XAX0. R R ∈ ≥ Si. . . , xx ,so´esrdentonno,sleetdiag(. . . , xx ,) la matrice diagonale deMqui admet pour( ) R 1n1n n coecientsdiagonauxlesr´eels. . . , xx ,dans cet ordre. 1n p Sipest un entier naturel non nul, on notera.nie surla norme in R k kSix= (x1, . . . , xp),x= max1i pxi. pk k| | Siaetr >0, on noteB(a, r) la boule ouverte de centreade rayonrp ourla norme.. R k kObjectifs. 2 SoitAune matrice deMnon dit qu’une matrice( ),RdeMnesd(eee)´rracenicarenutsAsiR=A. R R 2 On noteRac(Acarrcineesrabledsnmel)esee´edAsecda`teir,Rac(A) =R Mn( )/ R=A R { ∈} Leproble`meproposeded´eterminerlesracinescarr´eedeAdnadsxeselemp´eintrearro(,suopn constaterquunematricepeutparfoisadmettreuneinnite´deracines)ete´tudierquelquespropri´et´es topologiques deRac(A). Lestroispartiesduproble`mesontind´ependantes. Les trois premiers exemples de la partieIsont tousenepntdasd´in. I.De´terminationdeRac(A)dans quelques exemples. Exemple1:caso`uApede`ssonvaleurs propres distinctes. On suppose que la matriceA M( )admetnveualprrsreoprse´leels< λλ <. . .λ <. R n1 2n 1 1. Justi erl’existence d’une matriceP Mn( )inversible telle queA=P DPo`uD=diag(λ1, λ2, . . . , R 1 puis montrer queReed´errcanecirautenseA, si et seulement si la matriceS=PRPest une racine carr´eedeD. 2.Racinescarre´esdeD. SoitSaricuenrre´enacesdeD. a. MontrerqueDS=S D. b.Ende´duirequelamatriceSest diagonale. 2 c. Onnote alorsS=diag(s ,. . . , svaut). Queslorsquei1, . . . , n? ∈ {} 1n i d. Quepeuton dire deRac(A) siAcietsertorrpueprevaletunadmivate?ntmeegn´ e. Sion suppose toutes lesvaleurs propres deAtiviseuopsoe´seacsrleerrrcaesind,sellunnimrete´ de la matriceDposer. On pourraε1,+1 pouri1, . . . , n. i ∈ {−} ∈{ } 3.Ecriretouteslesracinescarr´eesdeA`alaidedelamatricePoCbmeidnrecaniserrcaes´e.Aadmet elle ?(On discutera selon le signe des valeurs propres deA). 11 55 − −Application:Ecriretouteslesracinescarre´esdeAOn donnera explicitement= 53 3 5 33 lescoecientsdessolutionstrouv´ees.  Exemple 2 :cas ou`Aest la matrice nulle deMn( ). R Danscetexemple,oncherchea`d´eterminerlesracinescarr´eesdelamatricenulle. SoitR M,)(nicarenur´eeecarmatrdelaluelcine. R n
n n 5. Soitfl’endomorphisme dedontRest la matrice dans la base canonique de. On noterle rang R R def. n a. ComparerIm(f) etK er(f) puis montrer quer. 2 b. Onsupposefnon nul, doncr1. Soit(. . . , ee ,) une base deIm(f)quecetvalpe`cnmoleo1r (er+1, . . . , en r) pour former une base deKer(f). Pouri1, . . . , r, on noteuile vecteur tel ∈ {} quef(ui) =ei. n Montrer que la famille= (, . . . , u, u. . . , ee ,) est une base depuis ´ecrire la matrice de R 1n r1r Bf. On noteradans la baseMcette matrice. r B 6.a.Ecriretouteslesracinescarre´esdansMnamaled)(ededlaile`aenultricMret d’une matrice R inversibleP. b. Application : d´eterminerdansM´reedslematairecnulle.(Onnechercareh(raes,l)arscneci R 4 pas`acalculerexplicitementlescoecientsdeR) Exemple 3 :cas ou`A=In.
7. SoitRacerunit´enuledee´rraceniI. n
a.V´erierqueRest une matrice inversible. b. MontrerqueRonagdicelueeqala`elbalbirtamenucseeirnmoe´sdtar. 8.De´terminerRac(I). en s’inspirantde la question 6a. n Exemple4:caso`uAnematricesym´etre.lleer´useeiuqt Danscetexemple,touteslesmatricesquelonconsid´ereraappartiennent`aM( ). R n 9.Unematricesym´etriqueadmetellene´cessairementuneracinecarr´ee? 10.Montrerquunematricesym´etriquepositiveadmetaumoinsuneracinecarr´eequiestellememe syme´triqueetpositive. II. Etude topologique deRac(A). SiAest une matrice deMn( )qui apour coefficients (ai,j)1i,j npoenmeorntsadne´o,nunentiN(A) = R max1i,j nai, j. On munitMn( )de cette normeN. R | | 11. FermeturedeRac(A). SoitAune matrice deMn( ).Montrer queRac(Apanetues)ee´deefmrtreiMn( ). R R 12. Etudedu caract`ere born´e deRac(I). n :a. un exemple instructif 1 0 µPour tout entier naturelqon poseSq= ;calculerSq.Rac(I2) estelle une partie q1 borne´edeM( ) R n b.Rac(Ie)edee´nrobrtienepalleusteM( )pourn3 ? R n n c. Application: pourcette question,n2. Montrer qu’il n’existe pas de norme.“surmultiplicative” surGLri´eevirnta(,)`tdacse R n k k pour tousAetBdansGLn( ),. BAB A. R k k≥ kk kk
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III.Z´erosdefonctionspolynomiales.Application`alad´eterminati delinte´rieurdeRac(A). p Soitpun entier naturel non nul. On munitde la norme innie.. R pk k On notel’ensemble desonctfselaimonylopsnoiiradt`escurs:eisP , il existeNentier R p p natureletunefamilledere´elsa ,0i ,. . . , iNtels que i1,...,ip1p { } p ii 1p (. . . , xx ,), P(x ,. . . , x) =. . . xa x R 1p1p i,... ,ip ∀ ∈ 1 X 0Ni ,...,i 1p 2 53 3,P(xx ,x ,) = 5x x Par exemple sip=1 2 3+ 3x1x2x3+ 42lopnoitcnofeenuts.uresalmioyn 1R Sip= 1,1usse.rylopmonneestsleionsonctdesfmble R p En n,sip ,on poseZ(P) =(. . . , xx ,)/ P(x ,. . . , x) = 0(Z(P) esteldelbmesnsore´zse R p1p1p ∈ {∈ } delafonctionpolynomialeP). p p Si - est une partie de, un vecteurambnor´releeedtseunpointint´erieu`r-aslixesietnur R R strictement positif tel queB(a, r) -.steetiarmbseenlpsesedeltnistnioeurs´eri.Lni´treeirudnupe Lobjectifdecettepartieestde´tudierlint´erieurdeZ(P),etmrnireadndee´ieurdelint´erRac(A).
13.Questionspre´liminaires:
a. Si- est un ouvert deEeirnite´usrtdle-u?eleq p b. Soita= (a ,. . . , a) etr >que0. MontrerB(a, redcommrireduiteprop)stuece´p R 1p intervalles. c. SoitFledeusensembeuottuosoMtnerqrire´tni.edivrueunedtiarepFestrueiedivnidre´t
14.Exemplesdensemblesdez´erosdefonctionspolynomiale.
a. Dans cettequestion,pSoit= 1.PcasquelfoneupoontincsemonylsnaD.ruZ(P) estil R in ni? 2 b. Dans cette question,p= 2.On consid`ereP(xx ,. 1x2) = 2x1x21 etQ(x1, x2) =x1 2 2− −Repre´sentergraphiquementdansleplanlesensemblesZ(P) etZ(Q).Z(P) etZ(Q) sontil R in nis?
15.Int´erieurdelensembledesz´erosdunefonctionpolynomiale. SoitPp. a. SoientI1, . . . , Ipolnpoynalmieecuqselifanotcoitrerparr´ecurreneinnisenoM.edstiarspde R Ps’annule surI1. . .Ip, alorsPest la fonction nulle. × × b.Ende´duirequesiPrtpanerusulenuansnvide,reeiruoneidni´tPest la fonction nulle. c. Sil’on suppose quePn’est pas la fonction nulle, que vaut l’int´erieur deZ(P) ?
16.Application`ale´tudedelint´erieurdeRac(A). 2 n Dans cette question, on confondra les espaces vectorielsMPar exemple, on prendra laet .( ) R R n 2 n libert´ed´ecrirequepourM Mn( ),M= (mi,j)1ni, j, sans se soucier de l’ordre des termes. R R SoitAune matrice deMn( ). R 2 n a. EcrireRac(Ae´´ldeseixtsielerquontruismpbmesedeldemnenuou)sorsftsenem. . . , PP ,2 R 1n 2 n de2tels queRac(A) =Z(P). n l l=1 T b.D´eterminerlinte´rieurdeRac(A).
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