CCP 2005 mathematiques 2 classe prepa psi

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CCPPSI 2005 -Math¶ematiques 2Dur¶ee : 4 heurescalculatrices autoris¶eesNotations et objectifs:² Rde¶signe l'ensembledesnombresre¶els, Cd¶esignel'ensembledesnombrescomplexes. Pour¸ 2 C,onnote j¸j lemodulede¸.² M (C)de¶signe l'espacedes matricesµadeux ligneset deuxcolonnes,aµcoe±cientscomplexes.2² M = (m ) ¶etant une matrice aµ coe±cients complexes, on note M = (m ) la matrice dont lesi;j i;jtcoe±cientssont les conjugu¶esdescoe±cientsdeM. Lamatricetranspose¶edeM estnot¶ee M.µ ¶1 0² PourM 2 M (C),onnotedet(M)led¶eterminantdeMettr(M)latracedeM. OnnoteI = .2 2 0 1Leproblµemeportesur l'¶etudedes sous-ensemblesde matricesde M (C)et conduitµa d¶e¯nir, par des2matricesde M (C),desrotationsd'unespace euclidiendedimension3.22Dans lapremieµrepartie , ond¶e¯nitunproduitscalairesur l'espacecomplexe C .Dans ladeuxiµemeet latroisiµemepartie , on¶etudiedessous-ensemblesdematricesde M (C).2Dans la quatriµeme partie, on d¶e¯nit une structure euclidienne sur un sous-ensemble de matrices deM (C)eton¶etudiedesautomorphismes decetespaceeuclidien.2Danstout leprobleµme, des questionsdecalcul peuvente^tretrait¶ees inde¶pendammentdesautres ques-ions.Partie I2Onnote C le C-espace vectoriel des couples de nombrescomplexes. Les deux vecteurse =(1;0) et12 2e =(0;1)de C formentunebase B=(e ;e ) de C appele¶ebasecanonique.2 1 2 µ ¶ µ ¶a c2Etantdonn¶edeux vecteursx=(a;b), y=(c;d) de C , de matricesX = , Y = relative-b dtmentaµlabasecanonique, ond¶e¯nitleproduitscalaire(xjy)=ac+bd= ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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CCPPSI2005Mathe´matiques2 Dure´e:4heures calculatricesautorise´es
Notations et objectifs:
d´esignelensembledesnombresre´els,de´signelensembledesnombrescomplexes.Pourλ, on R CC  ∈ noteλle module deλ. | | 2.iecscntplomesexleeisngd)e´(icesmatredesspacedtesengilxueda`oeac,`esnnlocoux C  M M= (mi,je´)tnattenoonicnestocpmelex,sunematrice`acoeM= (mi,j) la matrice dont les t coecientssontlesconjugue´sdescoecientsdeMs´podeeeeticnsraaL.rtamMeeetson´tM. 1 0 µ ¶ PourM2on note( ),det(Mdentnaimrete´del)Mettr(M) la trace deMnote. OnI2= . C  ∈M0 1 Le probl`eme porte sur l’´etude des sousensembles de matrices de2ad´enir,pardeste)(`tiudnoc C M atrices de( ),des rotations d’un espace euclidien de dimension 3. C 2 M2 Danslapremi`erepartie,onde´nitunproduitscalairesurlespacecomplexeC. Dansladeuxi`emeetlatroisie`mepartie,on´etudiedessousensemblesdematricesde2( ). C M Danslaquatri`emepartie,onde´nitunestructureeuclidiennesurunsousensembledematricesde ( )et on ´etudie des automorphismes de cet espace euclidien. C 2 Danstoutleprobl`eme,desquestionsdecalculpeuventetretrait´eesinde´pendammentdesautresquesions.
Partie I 2 On notele espacevectoriel des couples de nombres complexes.Les deux vecteurse1= (1,0) et C C 2 2 2= (0,= (forment une base1) dee1, e2d)eapplee´beasecanonique. C C B a c 2 tµ ¶µ ¶ Etantdonne´deuxvecteursx= (a, b),y= (c, d) de, de matricesX= ,Y= relative C b d enta`labasecanonique,alaceriodprtsuindn´oeleit(x y) =ac+bd=X Y;dte´neianormeesl | 2 2 arx= (x x) =a+b. || ||| || || p p 2 estunespacevectorielpr´ehilbertiencomplexepourceproduitscalaireetBest une C 2 ase orthonormale de. C 2 I.1 Soientx= (a, b),y= (c, det) deux vecteurs deλ, µExprimer lesdeux scalaires complexes. C produits scalaires (y x), (λx y), (x µy) en fonction du produit scalaire (x y). | || | 2 I.2 Soientx= (a,1 + 3i),y5= (1 +i,3 2i.) deux vecteurs de C − − 2 I.2.1 Aquelle condition sur le nombre complexea, les vecteursxety?formentils une base de C I.2.2 Aquelle condition cette base estelle orthogonale?Dans ce cas calculer la norme dex. i3 Ã2 2! 2 2 I.3 SoitT).= ( 3iC 2 ∈ M − − I.3.1 D´eterminerles valeurs propres (complexes) et les sousespaces propres deT. I.3.2Ende´duirequilexisteunebaseorthonormaledevecteurspropresdeT, que l’on explicitera.
a c µ ¶ I.4 SoitU=2( ).On notex= (a, b) ety= (c, d) les vecteurs colonnes deU. Exprimer C b d∈ M t le produit matricielU Uen fonction de (x y),xety. | |||| ||||
Partie II
t On note=U2( );U U=I2. C U {∈ M} a c µ ¶ II.1 SoitU=2avec( )x= (a, b),y= (c, d). Aquelle condition sur les vecteurs colonnes C b d∈ M xetydeUatonU? ∈ U II.2 SoitU. Calculerdet(U) , le module dedet(U). ∈ U| | II.3 SoitU. ∈ U 1 II.3.1 MontrerqueUest inversible et queUeitrappa.a`tn U t II.3.2 MontrerqueUitnepprateuq`taeaU.pparat`atien U U II.3.3 SoitV. Montrerque le produitU V.paaptreitna` ∈ UU II.4 SoitUe´emtnedestiotun´elλune valeur propre complexe deUinrmerD.ete´λ. U ||
Partie III
On note=U;det(U) = 1. SU {∈ U} i e0 µ ¶ . ourtneme´le´dno,edamtlnieceriat´Dpar:D=i R ∈ SU 0ea c µ ¶ II.1 SoitU=2( ). C ∈ M b d III.1.1 Donnerles quatre relations portant sur les scalairesa, b, c, dracauiqappaltnesire´tcnetrecnaed U`.a S U III.1.2 Onsuppose queU.Montrerquepaaptreitna`c=betd=a. S Ua b 2 2 III.1.2Ende´duirequeUentsulempaapitna`treiteesisU=aveca+b= 1. µ ¶ S U| || | b a a b 2 2 µ ¶ II.2 SoitUavec= ,a+b= 1.une matrice de b a| || |S U
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III.2.1De´terminerlepolynomecaracte´ristiqueχ(λ) =det(U λI2) deU. i i End´eduirequilexisteunre´eltel que les valeurs propres deUsonteete.
Etantdonn´eeunematriceU,on admetqueUtselbalbmeselogannemae`auediatric ∈ SU Davec une matrice de passageP,secda`tqeriuilexisteetPtels que R 1∈ SU ∈∈ SU U=PP Dstuenioarefboldtejqaleiondecer´esultatL.dae´omsnrttaIV.7.
III.2.2Ve´rierquelamatriceTnie`d´etseuqalanoiI.ntiertpa´e.D`aunr´eeltpear3mineret une 1S U matricePappeuqs`ael,ttearntnaT=P DP. SU
Partie IV
Rappel:Ea`e´benuoesaohtrrmnoedalecirtetroppar,3noisnemdide´entieorendicuilcaeeenpsnaut´et 1 00 ²1, ²2, ²3),´tenautnr´eel,onnoteR= 0cossinletacirene`tvimetebaacetelase,dtrmala   0 sincosotation deEaddixereveluetc´girrape²tunemesuetdonlgeetseleredlnaleer´. 1 t n note=A( );A=Aettr(A) = 0. C 2 V {∈ M} a c V.1 SoitA= . µ ¶ b d∈ V a r+is µ− −IV.1.1 MontrerqueAest de la formeA= aveca, r, sd´Ens.elqureuiedeseutne´r r isaV 1 00 1 espacevectorielr´eeldontunebaseestforme´eparlesmatricesE= ,E= , µ¶ µ1 2 0 11 0 0i E3= . µi0 1 IV.1.2Montrerquelapplicationde´niesurpar:(A, B)A, B=tr(ABtprunuiod´e)ditn V ×V 7→h i 2 2 scalairesurlespacevectorielre´el.EnnotantA=A, Ala norme deA, exprimerA V |||| hi |||| p en fonction dedet(A). IV.1.3 Pourjetkpaaptrnena`tlaensemble1,2,3 ,calculer les produits scalairesE ,E. Quepeut j k { }h i onende´duire?
Danslasuiteonconside`recommeunespaceeuclidien,pourleproduitscalaired´eni V cidessus. Onoriente desorte que la base(EE ,E ,)soit direct. 1 2 3 V
1 V.2 SoitP.On note`Ptourtuop:rapruseineond´catipplilaA,`P(A) =P AP. ∈ SU V∈ V IV.2.1 Montrerque`endnriueoen(lidit`adcesdlanelecapscueerpmosmhirteogohoetsnuuaot P V morphisme dequi conserve la norme). V IV.2.2 SoientPetQdans .Montrer que le produitP Qaptreitnpantrerque`aetmoee´sopmocal S US U `P`Qeierv´`P`Q=`P Q.
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