CCSE 1999 mathematiques 1 classe prepa pc

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Concours Centrz s Filière PC Épreuve : MATHÉMA UES I 1I.B - Partie I - Nombres de Bernoulli II.B.l) Déterminer, pour t réel fixé, le développement limité à l'ordre 3 en O Les polynômes que l'on considère sont à coefficients réels. On identifiera un de : x H 4(x, t) . polynôme et la fonction polynomiale associée. II.B.2) Expliciter 1.A - Suite des polynômes de Bernoulli Montrer qu'il existe une et une seule suite (B,),. IN de polynômes I.A.l) vérifiant B, = 1 puis pour tout entier n 2 1 , en fonction de $(x, t) , puis montrer pour n 2 1 que 1 B', = nB,- B,(t)dt = O. a an a" et I, ____ $(x, t) = x ~ $(x, t) + n- a"-1 $(x, t) . at axn axn axn-l I.A.2) Montrer que chaque B, est un polynôme unitaire de degré n . Déter- La fonction a, est définie pour tout réel t par : II.B.3) miner BI, B,, B,. an@ On définit pour tout n E IN et pour tout t E IR, C,(t) = (-l),B,( 1 - t) . I.A.3) a,(t) = -(O, t) c'est-à-dire a,@) = axn Montrer que, pour tout entier naturel n , C, = B, . Vérifier que a. = 1 , puis pour tout entier n 2 1 , que a; = na, - et 1.B - Nombres de Bernoulli J:a,,(t)dt = o. On pose, pour tout n E IN, b, = B,(O) . 1 1 I.B.l) Montrer que (Pour le calcul de jOa,(t)dt on pourra déterminer j $(x, t)dt 1. 1 O BO(1) = Bo(O) = 1, BI(1) = -B,(O) = - En déduire que la fonction a, est polynomiale et que, pour tout n E IN , a, = B, . 2' II.B.4) Déterminer de deux manières, pour n entier supérieur à 1 et t réel et pour tout n 2 2, B,( 1) = B,(O) . fixé, le ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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