CCSE 1999 mathematiques 2 classe prepa psi

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Concours Centrale - Supélec 1999 1 Épreuve : MATHÉMATIQUES II Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes : I.C.2) Dans tout le problème, E désigne un espace vectoriel réel muni d'un produit sca- laire. a) Il existe un triplet (x, y, Z) de réels différent de (O, O, O) tel que xu +yu + zw soit orthogonal à u , u et w. Le produit scalaire de deux vecteurs u et u est noté u . u , la norme (lu/( . b) G(u,u,w) = O De plus, dans les parties 1 et II, E désigne un espace euclidien de dimension n , (n22). I.C.3) En déduire que : G(u, u, w) = O a (u, u, w) liée I.C.4) Montrer que G(u, U, W) est un réel positif. Partie I - 1.D - I.D.l) u , u , w sont trois vecteurs de E et B une base orthonormale de E . 1.A - Soient u et u deux vecteurs quelconques de E. On note Gram(u, u) la Montrer que le réel IdetB(u, u, w)( ne dépend pas du choix de B. matrice définie par : I.D.2) Soit P un plan de E contenant u et u et nl un vecteur unitaire ortho- Gram(u,u) = [W. 'u W. " d et G(u, u) = det[Gram(u,u)l gonal à P. On désigne par BI une base orthonormée de P et on note B = BI u { n } . En utilisant ces deux bases, montrer que : I.A.l) Montrer que : G(u, u) 2 O. G(u, u, w) = [detg(u, u, w)I2 I.A.2) On note P un sous-espace vectoriel de dimension 2 de E contenant u 1.E - Pour u , u vecteurs quelconques de E , u A u désigne le produit vectoriel de et u et B une base orthonormale de P. Vérifier que : G(u, u) = [detB(u,u)12 . u par u. I.A.3) À quelle condition ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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