CCSE 2000 mathematiques 1 classe prepa pc

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Concours Centrale - Supélec 2000 Épreuve : MATHÉMATIQUES I Filière PC 1.B - Partie I - I.B.l) Soit f un élément de E. Soit E l’espace vectoriel réel des fonctions continues à valeurs réelles définies Montrer que sur l’intervalle [O, x] , le problème aux limites sur l’intervalle [O, n] , que l’on munit du produit scalaire y” = -f {Y(O) = Yb) = 0 et des normes admet une solution et une seule notée Tf . Indication : si on désigne par t Fo:tHj f(u)du O la primitive de f sur [O, n] s’annulant en O, on pourra exprimer Tf à l’aide f-+ llfll, = sup IfWl * d’intégrales comportant Fo . OStSx L’objet du problème est d‘étudier l’application T. Pour tout n E IN, on note c, (respectivement s, ) la fonction définie sur [O, K] par I.B.2) Déterminer précisément Tf lorsque f est la fonction définie au I.A.l) la formule c,(t) = cos(nt) s,(t) = sin(nt) ). et en donner une représentation graphique. Pour tout f E E , on note f la fonction définie sur IR, 2x -périodique, paire, coin- cidant avec f sur l’intervalle [O, x] et 7 la fonction définie sur IR, 2x -périodique, Partie II - Valeurs propres et vecteurs propres de T impaire, coïncidant avec f sur l’intervalle ]O,x[ et vérifiant la condition 1I.A - Montrer que l’application T : f -+ Tf est un endomorphisme de E. Déter- suivante : en tout point x de IR miner son noyau et son image. 1I.B - Pour tout entier naturel n , calculer Tc,. LA - 1I.C - Vérifier que, pour tout couple (fl,f2) d’éléments de E , I.A.l) On ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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