CCSE 2000 mathematiques 2 classe prepa mp

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Concours Centrale - Supélec 2000 Épreuve : MATHÉMATIQUES II Filière MP I est un produit scalaire ; calculer en particulier $(A, A). On note II II la norme On se propose dans ce problème d’étudier une méthode de calcul approché des associée 9 $ . Exprimer llA1I2 en fonction des (ai, j). valeurs propres d’une matrice symétrique réelle. 1.C - Montrer que pour toute matrice A = (u~,~)~, de Mat(n, IR), on a : 2 nn Notations : On désigne par Mat(n, IR) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre n à coefficients réels, par S,(IR) le sous-espace des symétri- (iai,i) ca:,j i= 1 i=l j=1 ques, par O,( IR) le groupe des matrices orthogonales d’ordre n et par O;( IR) le groupe des matrices orthogonales directes (i.e. dont le déterminant vaut 1 ). En déduire la norme de l’application Tr : Mat(n, IR) 4 IR (norme subordonnée à la norme Il II 1. On désigne par diag( a,,. . . ,an) la matrice diagonale d’ordre n : 1.D - Soit Q un élément de O,(IR) . Montrer que pour toute matrice A, k::: 01 lln~ll = IIAII . Prouver que si A est une matrice symétrique, la matrice B = ‘RAQ est elle-même symétrique et que l’on a, en notant (bij) les coefficients de B : ... an nn nn 2 C cb?,j= c Cai,j* i=l j=l i=l j=1 La notation A = (ai, j) signifie que la matrice A de Mat(n, IR) a pour coefficient ai, en i -ème ligne et j -ème colonne. Dans ce cas, la transposée de A sera n Partie II - Diagonalisation pour n = 2 notée tA et la trace de A définie par Tr(A) = c ai,i. i= 1 Soient A ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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