CCSE 2000 mathematiques 2 classe prepa pc

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Concours Centrale - Supélec 2000 Épreuve. . MATH~MATIQUES II Fi I ière PC Nota : les trois parties du problème peuvent être abordées indépendamment. On sait que f’(1) est un intervalle ; on note a et p ses extrémités et l’on suppose a < 0 (on peut avoir a = -00 ou p = +00 ). I.C.l) Montrer que J(f) contient l’intervalle ouvert ]a, p[ et donner l’expres- Partie I - Propriétés de la transformée de Legendre sion de g sur ]a, P[ en fonction de f et f” I’ (fonction réciproque de la fonction f’). Pour PE ]a,P[, on note x(p) l’unique point de Z tel que: Dans toute la partie 1 - , I désigne un intervalle de IR et f une fonction àvaleurs g(p) = P(P)-f(X(P)). réelles, définie sur I. On note J(f) l’ensemble des réels p tels que la fonction définie sur 1 par x H (px - f(x)) soit majorée ; si J(f) # 0, on définit la I.C.2) Pour p E la, pl, calculer g’(p) au moyen de x(p). g sur J(f) par: I.C.3) Montrer que, ‘dp E ]a, p[, la droite D, d’équation y = px -g(p) est . ‘dp E J(f)? g(P) = 5up (PX -f(x)) tangente au graphe de la fonction f. xt I Montrer I.C.4) Soit z= {h E c’(IR, IR)/(Vx E IR h”(x) > O) et h’(IR) = IR}. La fonction g est appelée la transformée de Legendre de f ; on note g =y(f). que: 1.A - Exemples a) 9(X) cR. Calculer la transformée de Legendre g =p(f) (en précisant l’ensemble J(f) et b) ’dh E A?, L?(y(h)) = h . tracer le graphe de g , dans les cas suivants : c) 2 est une bijection de fl sur z. 2 I.A.l) (k E IR,) ; Z = IR. f(x) = kx I.A.2) f(x) = ex ; 1 ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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