CCSE 2001 mathematiques 1 classe prepa mp

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Concours Centrale - Supélec 2001 Filière Épfeuve : MATHEMATIQUES I MP I Pour tout entier naturel non nul n , on notera P,( le polynôme de Taylor d’ordre Alors pour tout n E w la série tz de l’exponentielle au point 0 : converge et la série converge z ‘k ,p. ,t k 2 0 P,,(X) = $ s k = 0 et l’on a : lim ,2 _ &lk = i ‘1: k = 0 un système de racines complexes de P,2 On On notera : [k,,, , , i,,{. ?. . . . . k,,.,,] remarquera qu’en posant Les trois premières parties sont indépendantes entre elles sauf les ques- tions ILE.3 et ZZI.C.1. est un système de racines du polynôme le système [z,,. k 1, i ,: < ,I Partie I - Étude d’une courbe plane Il,,= P,,(nX) (1) LA - Soit z = pc”’ un nombre complexe ( h’ E IRI et H E IR 1. Déterminer, en fonc- Le but de ce problème est d’établir les deux résultats suivants, auxquels on don- tion de kj et de H une forme trigonométrique du nombre complexe 5= ze-‘. nera un sens précis et dont la preuve fera l’objet des parties II et IIT du pro- blème, qu’on peut conjecturer à l’aide d’un logiciel de calcul formel : 1.B - Démontrer que la fonction II, définie sur ] 0. I ] par : Lorsque tl - x : les nombres complexes ‘c,,, ,: = z,, ,:v “’ ’ tendent à “s’accumu- 1 +lnt u(t) = 7 ler” sur le cercle de centre 0 et de rayon I /P est un homéomorphisme croissant de 1 0. 11 sur 1 -x, 1 ] dont la fonction récipro- Les nombres complexes <,,, ,( tendent à se répartir “régulièrement” sur le cer- que est de classe C’ sur ] -x. I [ . cle précédent. ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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